Question

设f'(x)∈C[a,b],f(a)=f(b)=0,证明

|f(x)|≤1/2∫(a,b)|f'(x)|dx

Answer 1

f(a)=f(b)=0， 所以|f(x)|在【a，b】上的最大值肯定在区间中取到，并且这点的导数为零。 设为c 所以有|f(x)|≤f(c)=1/2（∫(a,c)f'(x)dx-∫(c,b)f'(x)dx）≤1/2（∫(a,c)|f'(x)|dx+∫(c,b)|f'(x)|dx）=1/2∫(a,b)|f'(x)|dx