Question

证明:在同构的意义下,四阶群只有两个,一个是循环群另一个是Klein四元群

Answer 1

如果是循环群，显然是Z4。

因此G={e,a,b,ab}因为a和b都为2阶,a-1和b-1都是他们本身,因此这个假设是合理,因为ab必须要在这个群的内部（封闭性）。

而ba也要在里面,因此ba肯定等于里面三个的其中一个。

如果ba=a,则b=e.如果ba=b,则a=e.都矛盾.如果ba=e,则a=b-1=b.矛盾。

因此ab=ba,同构于Klein。

含义

由于群之间的同构关系具有反身性、对称性和传递性，故这个定理告诉我们，凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。这样抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群和模n的剩余类加群。

Answer 2

如果是循环群，显然是Z4。（或C4）
如果不是循环，那么所有非单位元的元素阶为2或4(拉格朗姆)。设a为其中一个非单位元。如果a为4阶，则a，a2,a3都存在则回到第一种情况循环群，因此现在设没有四阶的元素。则存在a不等于b，都为2阶。
因此G={e,a,b,ab}因为a和b都为2阶，a-1和b-1都是他们本身，因此这个假设是合理，因为ab必须要在这个群的内部（封闭性）。
而ba也要在里面，因此ba肯定等于里面三个的其中一个。
如果ba=a，则b=e。如果ba=b，则a=e。都矛盾。如果ba=e，则a=b-1=b。矛盾。
因此ab=ba，同构于Klein