Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D

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问题在这里3个小题

Answer 1

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处．连接BA′，设AD=x，△ADE的边DE上的高为y．

（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；
（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形．

⑴过A作AH⊥BC于H，∵AB=AC=5，∴BH=CH=3，∴AH=√(AB^2-BH^2)=4，

∵DE∥BC，∴ΔADE∽ΔABC，∴AD/AB=Y/AH，

Y=4X/5，

⑵①当BD=BA'时，BD/DA'=AB/BC，(5-X)/X=5/6，X=30/11，

②当BD=DA'=1/2AB=5/2时，即X=5/2，A'在BC上，此时A'为BC中点，满足条件。

③A'B=A'D时，∠ADE=∠A'DE=∠A'DB，又三角和为180°，

∴∠ADE=60°，但ΔADE不是等边三角形，∠ADE≠60°，

∴这是不可能的。

∴当X=30/11或X=5/2时满足条件。

⑶A'B^2=BH^2+(4-2Y)^2=9+(20-8X)^2/25

①∠A'BD=90°，9+(20-8X)^2/25=X^2+(5-X)^2，

②∠DBA'=90°，X^2=9+(20-8X)^2/25+(5-X)^2，

③∠BA'D=90°，(5-X)^2=9+(20-8X)^2/25+X^2，

Answer 2

（1）先过A点作AM⊥BC，得出BM=
1
2
BC=3，再根据DE∥BC，得出AN⊥DE，即y=AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根据DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据△A'DE由△ADE折叠得到，得出AD=A'D，AE=A'E，再由（1）可得△ADE是等腰三角形，得出AD=A'D，AE=A'E，即可证出四边形ADA'E是菱形，得出∠BDA'=∠BAC，再根据∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，从而证出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；
（3）先分三种情况进行讨论；第一种情况当∠BDA'=90°，得出∠BDA'≠90°；第二种情况当∠BA'D=90°，根据四边形ADA'E是菱形，得出点A'必在DE垂直平分线上，即直线AM上，求出AM和A'M=的值，再在Rt△BA'M中，表示出A'B2，再在Rt△BA'D中，求出法和条件的x；第三种情况当∠A'BD=90°，根据∠A'BD=90°，∠AMB=90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA'的值，再在Rt△D BA'中，根据DB2+A'B2=A'D2，求出x的值，即可证出△A′DB是直角三角形；
解答：解：（1）过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM=1
2
BC=3，
∵DE∥BC，
∴AN⊥DE，即y=AN．
在Rt△ABM中，AM=
52-32

=4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
AD
AB
=
AN
AM
，
∴
x
5
=
y
4
，
∴y=
4x
5
（0＜x＜5）．
（2）∵△A'DE由△ADE折叠得到，
∴AD=A'D，AE=A'E，
∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE，
∴A'D=A'E，
∴四边形ADA'E是菱形，
∴AC∥D A'，
∴∠BDA'=∠BAC，
又∵∠BAC≠∠ABC，
∴∠BDA'≠∠ABC，
∵∠BAC≠∠C，
∴∠BDA'≠∠C，
∴有且只有当BD=A'D时，△BDA'∽△BAC，
∴当BD=A'D，即5-x=x时，
=
5
2
．
（3）第一种情况：∠BDA'=90°，
∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，
∴∠BDA'≠90°．
第二种情况：∠BA'D=90°，
∵四边形ADA'E是菱形，∴点A'必在DE垂直平分线上，即直线AM上，
∵AN=A'N=y=
4x
5
，AM=4，
∴A'M=|4-
8
5
x|，
在Rt△BA'M中，A'B2=BM2+A'M2=32+（4-
8
5
x）2，
在Rt△BA'D中，A'B2=BD2+A'D2=（5-x）2-x2，
∴（5-x）2-x2=32+（4-
8
5
x）2，
解得 x=
35
32
，x=0（舍去）．
第三种情况：∠A'BD=90°，
∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，
∴△BA'M∽△ABM，

即
BA′
AB
=
BM
AM
，∴BA'=
15
4
，
在Rt△D BA'中，DB2+A'B2=A'D2，
（5-x）2+
225
16
=x2，
解得：x=
125
32
．
综上可知当x=
35
32
、x=
125
32
时，△A'DB是直角三角形．

Answer 3

1
△ABC的高h为：h=4.
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC
则h/y=5/x,即y=4x/5
2
连接AA‘并延长交BC于E，则AA'⊥BC，又AB=AC，所以AE平分BC，故BE=3
又A'E=4-2y，所以A'B^2=25-16y+4y^2
而BD=5-x，A'D=x
由相似知BD，A'D，A'B必有两者相等
若BD=A'D，则x=5-x，x=2.5，y=2,
A'B=3
而BD/AB=0.5，A'B/BC=0.5.所以假设成立
若A'D=A'B，解得y=4或y=100/39
y=4时D、B重合，舍去，取y=100/39
此时x=125/39
A'D/AB=25/39,BD/BC=35/(39*6),不相似
若BD=A'B，则y=0或y=56/39
y=0时D与A重合，舍去，取y=56/39，此时x=70/39
BD/AB=25/39,A'D/BC=70/(39*6),故不相似

3
由图知角A'DB大小不变，且计算可得角A’DB为锐角
而角A'BD总是锐角
故只有角BA'D可能是直角
此时A'B^2+A'D^2=BD^2，带入数据得x=5，y=4
（x=y=0舍去）

辛苦手打不容易，给分吧

Answer 4

kkkk