Question

跪求该题解法，量子力学电子自旋问题

Answer 1

a). 由题意得 H = eB/(mc) * Sz = v*Sz .......(注意磁场的矢量方向）(令 v = eB/mc )
能量的本征方程为： H |X> = E|X> ......(1)
在 {S^2, Sz} z方向自旋的取值为{h, 0, -h}; 则 能量本征值为 {hv, 0, -hv}, 本征矢量为：
|1> = |hv> = (1 0 0)' (' 表示共轭转置）
|2> = |0> = (0 1 0)' ....
|3> = |-hv> = (0 0 1)'

通过 Sx 的久期方程 det(Sx - r) = 0 可以求解 Sx 的本征值为{h, 0, -h}, 本征矢为：
|Sx, h> = 1/2 ( 1 sqrt(2) 1)' = 1/2 |1> + 1/sqrt(2)|2> + 1/2 | 3>
|Sx, 0> = 1/sqrt(2) (1 0 -1)' = 1/sqrt | 1> - 1/sqrt(2)|3>
|Sx, -h> = 1/2 (1 -sqrt(2) 1)' = 1/2 |1> - 1/sqrt(2)|2> + 1/2|3>，
同理，也可以求出Sy 的本征值和本征矢。（具体自己求）
|Sy, h> = 1/2(1 -i*sqrt(2) -1)' = 1/2|1> - i*sqrt(2)|2> - 1/2|3>
|Sy, 0> = 1/sqrt(2) (1 0 -1)' = 1/sqrt(2)|1> - 1/sqrt(2)|3>
|Sy, -h>= 1/2(1 i*sqrt(2) -1)' = 1/2|1> + i*sqrt(2)|2> - 1/2|3>

由题意，t = 0 的粒子的自旋在 X 轴的投影为 +h
则 |X, t=0> = |Sx, h> = 1/2( |1> + sqrt(2)|2> + |3>) ......(2)
当 t != 0 时，不妨令，
|X, t> = (a(t) b(t) c(t) )' = a(t)|1> + b(t)|2> + c(t)|3> .....(3)
则由 schordinger equation 有：
-ih*d(|X, t>)/dt = H|X, t> =a(t)*h*v|1> - c(t)*h*v|3> .....(4)

由方程 （3），（4），并联初始条件（2），容易求得系数 a(t), b(t), c(t)...
a(t) = 1/2*exp(i*v*t)
b(t) = 1/ sqrt(2)
c(t) = 1/2*exp(-i*v*t)
...........

b), 在 x = +h 的投影几率由以下公式计算：
P = <Sx, h|X, t><X,t| Sx, h> = 1/2 + 1/2*cos(v*t) ... 【显然 t = 0时， P = 1】

c), 求各分量的平均值
x 轴方向的：mean(Sx) = <X, t|Sx|X, t> ......

具体的自己计算。

附：
使用基矢表示 Sx 为：
Sx = h/sqrt(2) *( |1><2| + |2><1| + |2><3| + |3><2|) ....

另外一种思路，根据公式直接求解 |X, t>..
实际实际上 |X, t> = E{|X, t= 0>*exp(i*En*t/h), n = 1, 2 ,3}
其中 E{X, n = 1, 2 ,3} 表示对进行 n = 1, 2, 3求和。

所以第一问中直接可以写出：
|X, t=0> = 1/2|1> + 1/sqrt(2)|2> + 1/2|3>
|X,t> = 1/2|1>*exp( i*v*h) + 1/sqrt(2)|2> + 1/2|3>*exp(-i*v*h)....与上面直接通过 Schordinger Equation 得到的一致。

Answer 2

你是需要很详细的步骤呢？还是思路呢？打字很麻烦的。

追问

思路就可以了