Question

立体几何证明题

在三棱柱A1B1C1-ABC中 ABC为等边三角形 ∠A1AC=∠A1AB=60 A1A=AB=2根号6
1求证四边形 B1C1CB是矩形
2求全面积和体积
最好不要直接使用三垂线定理 过程尽量详细 分可以再加

Answer 1

(1)取BC中点D,连接AD,A1D,再连接A1B,A1C
易知A1B=A1C=AC,即三角形A1BC为等边三角形，所以A1D垂直BC
又三角形ABC为等边三角形，AD垂直BC,
BC垂直平面ADA1
BC垂直A1A
则BC垂直B1B
又因为B1B=BC=C1C=B1C1（这个是菱形）
所以四边形为矩形（正方形）

(2)把整个几何体分为三棱锥A1-ABC和四棱锥A1-BCC1B1
易知三棱锥为正四面体，四棱锥为正四棱锥，底面为正方形，且侧棱长等于底边长=2根号6
所以全面积=6个等边三角形面积+正方形面积=6*{[（根号3）/4]*[(2根号6)^2]}+[(2根号6)^2]=36根号3+24
三棱锥和四棱锥的高相等，由正四棱锥里去求
连接BC1，CB1交于点O,连接A1O，则A1O即为正四棱锥的高=2根号3
则体积=正三棱锥体积+正四棱锥体积=1/3* (正三角形面积+正方形面积）*高=1/3{[（根号3）/4]*[(2根号6)^2]+[(2根号6)^2]}*2根号3=12+16根号3

Answer 2

1只要用向量求就可以了
向量BC=向量BA+向量AC
向量BB1=向量AA1 所以（向量BC）点乘（向量BB1）=（向量BA+向量AC）点乘（向量AA1 ）=0
（这个自己算吧 一个夹角是60度 一个夹角为120度 所以加起来等于0）
所以BC垂直于BB1
所以四边形B1C1CB为矩形
2
全面积=2S(三角形ABC)+3S(AA1B1B)=2x1/2x(根号6)x(根号6)+3x(根号6)x(根号6)xsin60度=
48根号3

体积就是作A点关于BC的垂线交BC与D点则AD=2根号6xsin60度=3根号2
则体积=S（矩形BB1C1C）xAD=72根号2

追问

没学向量 只学了立体几何的定理

追答

1因为BB1=BC=CC1=B1C1=2根号6所以底面为正方形即为矩形
2算错了应该是(2根号6)x(2根号6)+2x(2根号6)x(2根号6)xsina60度+(2根号6)x(2根号6)xsina60度=36根号3+24

Answer 3

连A1B、A1C
1.∵△ABC是正三角形
∴AB=AC=2√6
∵∠A1AB=∠A1AC=60°，A1A=2√6
∴△ABA1、△ACA1是正三角形
易证△A1BC、△A1BB1、△A1CC1是正三角形
∴四棱锥A1-B1C1CB是正四棱锥
∴底面B1C1CB是正方形
得证
2.作AD⊥BC于D，A1G⊥AD于G，DE⊥A1A于E，连A1D
A1D=AD=3√2
AG=2√2(三角形重心的特性，如果不会可以利用AE=√6，DE=2√3，再用△A1AD的面积求得A1G=4)
A1G=4
S=6S△ABC+S-B1C1CB=36√3+24
V=S△ABC·A1G=24√3

Answer 4

全面积很好求的  体积稍微麻烦点但是可以用补图法便可求出

Answer 5

这么工整的图形呀，体积一看就知道是正四面体A1ABC的体积的3倍，（正四面体体积你该会求吧）
现在证明1，过B作AA1的垂线，交点D，连接CD，可证CD⊥CC1，注意BB1和CC1平行，于是可证得BB1和CC1都垂与面BCD，于是BB1⊥BC，则1.可证