Question

如图,正三角形ABC的边长为12cm,先作它的内切圆圆O,圆O与BC相切与点D

如图,正三角形ABC的边长为12cm,先作它的内切圆圆O，圆O与BC相切与点D。再做圆O’与圆O相外切与点G，并且与AB，BC分别相切与点E，F。
1.求弧FG的长；
2.求图中阴影面积S。

详细过程!!!

Answer 1

过G点做O'O的公切线，交AB，BC于J，K两点

O，O'分别是两个等边三角形的内切圆，且O，O'分别是三角形的重心（三心合一）

则BG=OG=1/3AD

r=O'G=1/3BG=12√3/2/3/3=2√3/3

弧FG=1/3*2πr=4√3π/9

S阴=SBFO'E-S扇O'EF=2*1/2*BF*O'F-1/3*πr^2=2√3/3*2√3/3*√3-4π/9=4√3/3-4π/9

Answer 2

连接OB，O'在OB上，连接 OD、O'F，
∵BC与两圆相切，ΔABC是等边三角形，
∴OD⊥BC，O'F⊥BC，∠OBD=30°，
在RTΔOBD中，BD=6，
∴OD=6/√3=2√3，OB=2OD=4√3，
过O'作O'H⊥OD于H，设⊙O'的半径为R，
则OH=2√3-R，OO'=2√3+R，
在RTΔO'BF中，BF=√3O'F=√3R，O'B=2√3R，
∴DF=6-√3R=O'H，
又O'H^2+OH^2=OO'^2，
∴(6-√3R)^2+(2√3-R)^2=(2√3+R)^2，
解得：R=2√3/3或6√3(舍去)。
⑴连接O'E，∵∠O'EB=∠O'FB=90°，∴∠EO'F=180°-∠B=120°，
G是弧EF的中点，∴弧FG=1/3C⊙O'=1/3*π*2R=4√3π/9㎝。
⑵S扇形O'EF=1/3*πR^2=4π/9，
S四边形O'EBF=2SΔO'BF=2(1/2BF*O'F)=√3R^2=4√3/3，
∴S阴影=4(3√3-π)/9平方厘米。