Question

求线性方程组的全部解

x1+x2-3x4-x5=2
x1-x2+2x3-x4=1
4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=8
2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=9

Answer 1

写出此方程组的增广矩阵，用初等行变换来解
1 1 0 -3 -1 2
1 -1 2 -1 0 1
4 -2 6 3 -4 8
2 4 -2 4 -7 9 第2行减去第1行，第3行减去第1行×4，第4行减去第1行×2
～
1 1 0 -3 -1 2
0 -2 2 2 1 -1
0 -6 6 15 0 0
0 2 -2 10 -5 5 第3行减去第2行×3，第4行加上第2行，第2行除以-2
～
1 1 0 -3 -1 2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 9 -3 3
0 0 0 12 -4 4 第1行减去第2行，第4行减去第3行×4/3，第3行除以9
～
1 0 1 -2 -1/2 3/2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0 第1行加上第3行×2，第2行加上第3行
～
1 0 1 0 -7/6 13/6
0 1 -1 0 -5/6 5/6
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0
显然x1=1，x2=0，x3=0，x4=0，x5= -1为方程的特解，
矩阵的秩为3，所以有5-3=2个解向量
取x3和x5为自由变量，得到对应齐次方程组通解为
c1*(-1，1，1，0，0)^T + c2*(7/6，5/6，0，1/3，1)^T c1、c2为常数

所以此非齐次线性方程组的通解为：
c1*(-1，1，1，0，0)^T + c2*(7/6，5/6，0，1/3，1)^T+(1，0，0，0，-1)^T c1、c2为常数