Question

正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为根号2a，求AC1与侧面AB1所成的角（请以A为原点）

正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为根号2a，求AC1与侧面AB1所成的角（请以A为原点）

Answer 1

c以A为原点,分别以AB,底面AB的垂线和AA1为X轴、Y轴、Z轴建立空间直角坐标系，以a为1个单位，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1/2，√3/2，0），
A1（0，0，√2），B1（1，0，√2），C1（1/2，√3/2，√2），
向量AC1=（1/2，√3/2，√2），
∵平面ABB1A1在XOZ平面，
∴法向量n=(0,1,0),
向量AC1·n=√3/2，
|n|=1,
|AC1|=√（1/4+3/4+2）=√3，
设n和AC1所成角为α1，AC1与平面ABB1A1所成角为α，
α+α1=π/2，
cosα1=AC1·n/（|AC1|*|n|)=（√3/2）/（√3）=1/2，
cosα=sinα1=γ（1-1/4）=√3/2，
α=30°
∴AC1与侧面AB1所成的角30°
为什么一定要用向量解？
取A1B1中点M，
∵△A1B1C1是正△，
∴C1M⊥A1B1，
∵平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，
∴C1M⊥平面ABB1A1，
∴〈C1AM就是AC1与平面ABB11所成角
C1M=√3/2，
AC1=√3，
AM=√（AA1^2+A1M^2)=3/2，
cos<C1AM=AM/AC1=(3/2)/√3)=√3/2
∴AC1和平面ABB1A1所成角为30°.

Answer 2

AC1=AB1=a^2+(根号2a)^2=根号3a
AC1^2+AB1^2-2AC1*AB1cosA=B1C1^2
解得cosA=5/6，A=arccos5/6