Question

数学问题 谢谢

在平面上任取三点,其坐标均为整数,试判断这三点能否组成正三角形,若能,有多少个?

Answer 1

结果是不可能的。如果楼主猜到了不可能，就好办了，如果猜不到，会比较辛苦，因为毕竟否定一个事情很容易，只要否定其中一方面即可；但肯定一件事很难，你必须肯定方方面面。

下面我们就从面积这一个方面去否定。（这是数学上常用的思路，让你证明一件事不可能，只要找一个最容易想的方面否定，面积就很容易想，不是很依赖于图形，你要是拿角度之类的方面去否定会很麻烦）

首先如图，任何三个顶点全在整数点（坐标都是整数的点以后我们把它叫格点）总能够镶嵌到一个大的矩形内部，比如图中蓝色三角形每个顶点都在格点上，它就能镶嵌到黄色矩形的内部。

这样，它的面积，等于矩形的面积减去周围三个直角三角形（I、II、III）的面积。直角三角形直角边都是平行于坐标轴的，因此它们的直角边长都是整数，比如图中I的两个直角边长分别为1、2。那这样这种直角三角形的面积都是整数×整数÷2这种形式，必然是整数或者半奇数（也就是整数+0.5的形式）矩形面积是整数，因此中间蓝三角形面积也是整数或者半奇数。

这就出现问题了，我们知道等边三角形如果边长是a，那么面积是√3/4 a²（这个结果很好推导），注意出现了根号3因子，因此要想让面积是整数或者半奇数，比如a²里面也有个√3，两个根号3往一块一乘，消掉了才能得到。但是a²里面会还有√3吗？我们知道只要是格点连线，比如是上述那种直角三角形（比方说I、II、III）的斜边，那种直角三角形直角边长度m、n都是整数，a=√(m²+n²)在平方以下必定是m²+n²是整数。因此不可能平方里面还出现√3因子，也就不可能面积是整数或者半奇数，也就不可能是等边三角形。

Answer 2

不能，假设，A点落在坐标原点上，B点在X轴的正方向上，因为坐标都是整数，若B点为奇数，则C点的横坐标数为B/2，为小数，与题意不符，所以，B点的坐标必须为偶数。C点的纵坐标数为
(B/2) ÷tg30。=(B/2）倍的根号3，因为根号3是无理数，一个整数乘以

一个无理数乃是无理数，所以，C点的纵坐标数为无理数，即非整数。所以，不能组成正三角形。

Answer 3

我的想法是这样，你可以通过平移将该正三角形底边的左端点平移到坐标系的原点，显然这时各点的坐标任然为整数，那么该正三角形的高就等于底边的一半乘以tan60°,显然算出的高是个无理数，所以不可能。

Answer 4

两点间距离公式算距离，看任意两边之和是否大于第三边

Answer 5