Question

已知等腰三角形腰上的中线长为根号三，三角型面积最大值

Answer 1

首先设腰长为2a，中线将三角形分为两半，两半的面积相等，取顶角那边的一半形成一个新三角形，

此三角形的三边为a,2a,√3设顶角为c则由余弦定理得3=a^2+4a^2-4(a^2)cosc
所以a^2=3/(5-4cosc)，
又由正弦定理得此三角形的面积S=1/2*a*2a*sinc=(a^2)sinc=3sinc/(5-4cosc)，
然后对S求导得S'=(-15cosc+12cos^2c+12sin^2c)/(5-4cosc)^2=(-15cosc+12)/(5-4cosc)^2，
令S'=0得cosc=4/5且当cosc<4/5时S'>0，S单调增，当cosc>4/5时S'<o，S单调减，
所以S在cosc=4/5处取极大值，且此极大值为最大值，
此时sinc=3/5所以Smax=(3*3/5)/(5-4*4/5)=1所以三角形的最大面积为2S=2

Answer 2

解：
作出等腰三角形ABC,AB=AC,M为AB中点，CM=√3,作AD⊥BC交BC于D点，作MN∥AD交BC于N，设BC=4a，AD=2h，
∵AB=AC,∴D为BC中点，又∵M为AB中点，∴MN为△ABD的中位线，即MN=½AD=h,BN=a
∵△CMN为直角三角形，
∴CM²=CN²+MN²，即3=9a²+h²
根据基本不等式得：
2*√（9a²h²）≤9a²+h²=3
即ah≤0.5
S△ABC=½BC*AD=4ah≤2
∴所求最大面积为2

Answer 3

设此三角形的底边为a那么，面积为
s=1/2xa（根号3) （此时的高与中线相等）
所以当a=根号3时，面积最大
最大为：1/2(根号3)x根号3=3/2