Question

设抛物线X²=4y的焦点为f。p（x0.y0）为抛物线上的任一点。x0不等于0过p点的切线交Y轴于Q点。

1.证明FP=FQ。2.Q点关于原点O的对称点为M。过M点做平行于PQ的直线交抛物线与AB两点。若向量AM=K向量MB K大于0.求K的值

Answer 1

1
抛物线X²=4y即y=1/4x²
F(0,1)
求导得y'=1/2x
那么PQ的斜率k=1/2x0
PQ：y-y0=1/2x0(x-x0)
令x=0得y=y0-1/2x²0=-y0
∴Q(0,-y0)
∴FQ=1+yo
FP=√[(x²0+(y0-1)²]
=√[4y0+y²0-2y0+1]
=√(1+y0)²
=1+y0
∴FP=FQ
2

Q点关于原点O的对称点M(0,y0)
AB//PQ
∴AB:y=1/2x0*x+y0
代入 x²=4y
x²=2x0x+4y0
即x²-2x0x-4y0=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴x1+x2=2x0①,x1x2=-4y0②
①²÷②:
x1/x2+x2/x1+2=4x²0/(-4y0)=-4
∴x1/x2+x2/x1+6=0
∵向量AM=K向量MB
∴x1/x2=-k
∴-k-1/k+6=0
∴ k²-6k+1=0
解得k=3±2√2