Question

已知园C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被园C截得的炫长为2根号5。1）求：园C的方程。

2.若圆E与圆C关于直线2x-4y+5=0对称，试判断两圆位置关系。

Answer 1

【解题思路】

(1)根据题意求出圆心

(2) 首先根据圆E与圆C关于直线对称，求出圆E的圆心，然后求出其两圆心之间的距离。

【求对称点的方法】：

设另一点坐标为(a,b)

由已知可得：两点连线的斜率与已知直线的斜率乘积等于－1，两点连线的中点在已知直线上，联立两个方程，可得另一点的坐标．

【两圆位置关系的判断】

　　通过两圆的圆心距

• 当圆心距小于两圆半径之差时 两圆内含

• 当圆心距等于两圆半径之差时 两圆内切

• 当圆心距小于两圆半径之和 大于半径之差时 两圆相交

• 当圆心距等于两圆半径之和时 两圆外切

• 当圆心距大于两圆半径之和时 两圆外离

解：弦端点设为D(d,0)，E(d+2√5,0)，圆心C(c,-2c)；

在△CDE中，CD=CE=3，DE=2√5，可得圆心纵坐标为-2c=-2，即c=1;

所以圆心为C(1,-2)。

（1）圆C方程为：(x-1)²+(y+2)²=9 。

（2）圆E与圆C关于直线2x-4y+5=0对称，则两圆心E和C关于直线2x-4y+5=0对称， 根据对称点的方法求出E的坐标

设E(a,b)

∴（b+2）/(a-1)=-2

  （a+1)-2(b-2)+5=0

    联立算出a=-2,b=4

    所以E（-2，4）

然后计算两个圆心之间的距离 得到（（1-（-2）^2+(-2-4)）^2）^(1/2)=3√5

而3√5<(3+3) 

所以两圆的位置关系是相交。

Answer 2

解：弦端点设为D(d,0)，E(d+2√5,0)，圆心C(c,-2c)；
在△CDE中，CD=CE=3，DE=2√5，可得圆心纵坐标为-2c=-2，即c=1;
所以圆心为C(1,-2)。
（1）圆C方程为：(x-1)²+(y+2)²=9 。
（2）对称的话俩圆心连线是直线的垂直平分线，且斜率相乘等于-1
设E(a,b)
∴（b+2）/(a-1)=-2
（a+1)-2(b-2)+5=0
联立算出a=-2,b=4
所以E（-2，4）
圆心距=3√3<6(两半径和)
∴相交