Question

如图在三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱AA1⊥底面ABCAB=AC=1∠BAC=120°异面直线B1C与A1C1所成的角为60°

求三棱柱ABC—A1B1C1的体积求二面角B1—AC—B的余弦值

Answer 1

 

如图所示，以B1为原点建立Oxyz直角坐标系，设CC1=m

那么，B1(0,0,0) C(0,√3,m) A1(1/2,√3/2,0) C1(0,√3,0)

∴向量B1C=(0,√3,m) 向量A1C1=(-1/2,√3/2,0)

∴向量B1C·向量A1C1=0+3/2=√(0+3+m²)*√(1/4+3/4+0)*cos60°

解得：m=√6

又∵△ABC的面积为S=1/2*AC*AC*sin∠BAC=1/2*1*1*√3/2=√3/4

∴三棱柱ABC—A1B1C1的体积V=S*m=3√2/4

 

设面B1AC的法向量为n=(j,k,l)，

又向量AC=向量A1C1=(-1/2,√3/2,0)

∴n·向量AC=-1/2*j+√3/2*k=0

n·向量B1C=√3*k+√6*l=0

∴可令n=(√6,√2,-1)

∵面ABC的法向量为向量BB1=(0,0,-1)

∴二面角B1—AC—B的余弦值等于面ABC的法向量和面B1AC的法向量夹角的余弦值

即cos<n,向量BB1>=(0+0+1)/[√(6+2+1)*√(0+0+1)]=1/3

 

图后补