Question

如图求不定积分！要过程

Answer 1

令x=tant,dx=sec^2tdt
原积分=∫sec^2tdt/[(1+tant)sect]
=∫dt/(cost+sint)=(1/√2)∫dt/(sin(t+π/4))
=(1/√2)ln|csc(t+π/4))-cot(t+π/4)|+C (此处带回t也可以了的，下面用点三角知识）
=(1/√2)ln|(1-cos(t+π/4))/sin(t+π/4))|+C
=(1/√2)ln|(√2-cost+sint)/(sint+cost))|+C
=(1/√2)ln|(√2-1/√(x^2+1)+x/√(x^2+1))/(1/√(x^2+1)+x/√(x^2+1)|+C
==(1/√2)[ln|√2√(x^2+1)-1+x|-ln|1+x|]+C

Answer 2

图片搞倒了。
令x=tant,dx=sec^2tdt
代入原式得
原式
=∫1/[(1+tant)sect]*sec^2tdt
=∫1/(cost+sint)dt
然后再用万能代换才能出来

Answer 3

首先令x=tant dx=sect^2dt
带入得到：
=∫1/[(1+tant)sect]*sec^2tdt
=∫1/(cost+sint)dt
令t=tan(u/2)
dt = 2du / (1+u²)
sint = 2u / (1+u²)，cost = (1 - u²) / (1 + u²)
∫ dt / (sint + cost)
=2∫ du / (-u² + 2u + 1)
= 2∫ du / [2 - (u - 1)²]
= 2∫ dy / (2 - y²)，y=u - 1
= (1 / 2√2)ln|(y + √2) / (y - √2)| + C
= (1 / 2√2)ln|(u - 1 + √2) / (y - 1 - √2)| + C
在反带就可以了吧
以后遇到类似的问题，一般先考虑三角代换法