Question

矩阵秩的问题，急

n阶矩阵A满足A^2=I证明对任意正整数s,k有rank[(I-A)^s]+rank[(I+A)^k]=n

Answer 1

证明: 首先证明A可对角化.
因为 A^2=I
所以 (A+I)(A-I)=0
所以 r(A+I)+r(A-I)<=n
又因为 n=r(I)=r(2I)=r(A+I-(A-I))<=r(A+I)+r(A-I)
所以 r(A+I)+r(A-I)=n
所以 [n-r(A+I)]+[n-r(A-I)]=n
所以 A的属于特征值1和-1的线性无关的特征向量有n个
所以 A可对角化为 diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1)
即 A 与 diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1)相似
所以I-A与diag(0,0,...,0,-2,-2,...,-2)相似
I+A与diag(2,2,...,2,0,0,...,0)相似
所以(I-A)^s与diag(0,0,...,0,(-2)^s,(-2)^s,...,(-2)^s)相似
(I+A)^k与diag(2^k,2^k,...,2^k,0,0,...,0)相似
所以 rank[(I-A)^s]+rank[(I+A)^k]
= rank diag(0,0,...,0,(-2)^s,(-2)^s,...,(-2)^s)
+rank diag(2^k,2^k,...,2^k,0,0,...,0)
= n.

Answer 2

A^2=I，=>A的特征值为1、-1，设有m个特征值为1，则有n-m个特征值为-1
A=diag(1,1,...1,-1,-1,...-1) (diag指对角矩阵，括号内是对角线元素，m个1，n-m个-1)
因此I-A=diag(0,0,...,0,2,2,..2) (m个0，n-m个1)=2I(n-m)
I+A=diag(2,2,..,2,0,0,...0) (m个2，n-m个0) =2I(m)
故(I-A)^s=2^s * diag(0,0,..,0,1,1,..,1) (m个0，n-m个1)，故rank[(I-A)^s]=n-m
同理rank[(I+A)^k]=m
相加为n，得证