Question

据说具有第一类间断点的函数不存在原函数

既然这样，那下面这个题岂不是错题？？！！题目如下：f（x）是奇函数，除了x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则
是什么样的函数？？答案是连续的偶函数。这是06年考研数学二真题选择第二个题！
难道这个与事实不矛盾？？！！求解

Answer 1

有限的间断点不影响积分的值
∫[0到x]f(t)dt 的导数并不一定是f(t)，只有在f连续的时候才是，把f的值改动有限个，∫[0到x]f(t)dt 不会发生变化的

追问

那所求函数的连续性怎么判断？？

追答

如果你指的是那个变限积分的话，变限积分肯定是连续的
如果是指f的连续性，就只能看题目条件了
单从积分式子是判断不了的

追问

是因为那个变限积分函数求导后导数存在，因此可导，所以变限积分就连续吗？？

追答

可以这么看，设F(x)是从a到x,∫ f(t)dt,那么F(x+dx)-F(x)=∫[a到x+dx]f(t)dt-∫[a到x]f(t)dt=∫[x到x+dx]f(t)dt
假设有|f(t)|0是就->0，也就是说F连续
事实上f有界是可积的必要条件，所以F一定是连续的

Answer 2

他不存在原函数但是其可积