求不定积分∫(1/x^2+2x+5)dx
∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
=∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1)
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+C 展开
结果为：(1/2)arctan[(x+1)/2]+ C
解题过程如下：
原式=∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
=∫(1/4)/[ [(x+1)/2]^2+1]dx
=∫(1/4)·2/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)∫1/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+ C
扩展资料
求函数积分的方法：
设f（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。
其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。
常用积分公式：
解：∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/((x+1)^2+4)dx
令x+1=2tant，则x=2tant-1
那么，∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/((x+1)^2+4)dx
=∫1/((2tant)^2+4)d(2tant-1)
=1/4∫1/(sect)^2d(2tant)
=1/2∫dt=t/2+C
又因为x+1=2tant，所以t=arctan((x+1)/2)
则∫1/(x^2+2x+5)dx=t/2+C=1/2*arctan((x+1)/2)+C
扩展资料：
1、三角函数之间变换
1+(tanA)^2=(secA)^2、(sinA)^2+(cosA)^2=1、tanx*cotx=1
2、不定积分凑微分法
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C
直接利用积分公式求出不定积分。
3、不定积分公式
∫mdx=mx+C、∫(secx)^2dx=tanx+C、∫cscxdx=-cotx+C
参考资料来源：百度百科-不定积分
∫(1/(x^2+2x+5))dx的不定积分为1/2arctan((x+1)/2)+C
解：∫(1/(x^2+2x+5))dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
=1/4∫1/[（(x+1)/2）^2+1]dx
令(x+1)/2=t，则x=2t-1
则1/4∫1/[（(x+1)/2）^2+1]dx
=1/4∫1/(t^2+1)d(2t+1)
=1/2∫1/(t^2+1)dt
=1/2arctant+C
把t=(x+1)/2代入，得
∫(1/(x^2+2x+5))dx=1/2arctan((x+1)/2)+C
扩展资料：
1、不定积分的公式类型
（1）含a+bx的不定积分
∫(1/(ax+b))=1/b*ln|ax+b|+C、∫(x/(ax+b))=1/b^2*(a+bx-aln|ax+b|)+C
（2）含x^2±a^2的不定积分
∫(1/(x^2+a^2))=1/a*arctan(x/a)+C、∫(1/(x^2-a^2))=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+C
（3）含ax^2±b的不定积分
∫(1/(a*x^2+b))=1/√(a*b)*arctan(√a*x/√b)+C
2、不定积分的求解方法
（1）换元积分法
例：∫e^(2x)dx=1/2∫e^(2x)d(2x)=1/2*e^(2x)+C
（2）积分公式法
例：∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C
（3）分部积分法
例：∫x*e^xdx=∫xd(e^x)=x*e^x-∫e^xdx=x*e^x-e^x=(x-1)*e^x
参考资料来源：百度百科-积分公式
参考资料来源：百度百科-不定积分
把(x+1)做为一个整体 即令x+1=t
∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1)
=∫1/(t^2+2^2)dt
=1/2∫1/[t/2)^2+1]d(t/2)
=(1/2)arctan(t/2)+C { arctan'x=1/(x^2+1) }
代回t=x+1
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+C
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
=∫(1/4)/[ [(x+1)/2]^2+1]dx
=∫(1/4)·2/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)∫1/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+ C
上面对你搜到的答案进行了细化。
主要还是利用公式：∫[1/(x^2 +1)]dx=arctan(x) +C，本题中配方后，后面出现4，不是1，因此要通过变形，构造成满足公式的形式。你搜到的答案倒数第二步写得不清楚，所以难以理解。
