Question

已知函数f（x）=ax平方-2ax+2+b（a≠0），f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2

①求a,b②若b＜1,g（x）=f（x）-mx在[2，4]上单调，求m的取值范围

Answer 1

f(x)=a(x-1)^2+2+b-a
对称轴为x=1,因此在[2,3]单调
1)
若a>0, 则有最大值=f(3)=6a+2+b=5;最小值=f(2)=2+b=2, 解得：b=0, a=1/2, 符合
若a<0,则有最大值=f(2)=2+b=5;最小值=f(3)=6a+2+b=2, 解得：b=3, a=-1/2, 符合
因此有以上2组解(a,b): (1/2, 0), (-1/2, 3)

2) 若b<1, 则由1），知b=0, a=1/2, f(x)=x^2-x+2
g(x)=f(x)-mx=x^2-x(m+1)+2
对称轴为x=(m+1)/2
在[2,4]单调，表明对称轴不在区间内，故有：
(m+1)/2>=4或(m+1)/2<=2
即m>=7或m<=3

Answer 2

函数对称轴为x=1 所以极值在x=2 3时取得
分类讨论a＞0时 a=1 b=0
a＜0时 a=－1 b=3
b＜1时 a=1 b=0 所以g(x)=x∧2－(2＋m)x 由于单调，可知对称轴在2左边或4右边，对称轴为1＋m/2 解得 m≤2或≥6