已知，如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD是△ABC中BC边上的高求证:AC·AB=AE·AD
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证明：∵∠AEC与∠ABC都是弧AC所对应的圆周角
∴∠AEC=∠ABC=∠ABD
而AE为直径，∴∠ACE=∠ADB=90°
∴△ABD与△AEC相似
∴AB/AE=AD/AC
∴AC·AB=AE·AD
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∴∠AEC=∠ABC=∠ABD
而AE为直径，∴∠ACE=∠ADB=90°
∴△ABD与△AEC相似
∴AB/AE=AD/AC
∴AC·AB=AE·AD
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证明：连接BE
∵ ∠C、∠E是AB弧的圆周角
∴∠C=∠E
∵AD∥BC，AE是⊙O的直径
∴Rt△ABE ∽Rt△ADC
∴AB/AD=AE/AC
即AC·AB=AE·AD
∵ ∠C、∠E是AB弧的圆周角
∴∠C=∠E
∵AD∥BC，AE是⊙O的直径
∴Rt△ABE ∽Rt△ADC
∴AB/AD=AE/AC
即AC·AB=AE·AD
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证明：连接EC．
∵AE是⊙O的直径，CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠ACE=∠CDB=90°．
又∵∠B=∠E，
∴△BDC∽△ECA．
∴BCAE=
CDAC．
∴AC•BC=AE•CD
∵AE是⊙O的直径，CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠ACE=∠CDB=90°．
又∵∠B=∠E，
∴△BDC∽△ECA．
∴BCAE=
CDAC．
∴AC•BC=AE•CD
参考资料： http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/728ff176-b9c0-4d5d-9b3d-a2b5fc4045a4
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连接BE
∵AE是直径 所以∠ABE=∠ADC=90°
又∠ACD=∠AEB
△ABE∽△ADC
∴AC/AE=AD/AB
∴AC*AB=AE*AD
∵AE是直径 所以∠ABE=∠ADC=90°
又∠ACD=∠AEB
△ABE∽△ADC
∴AC/AE=AD/AB
∴AC*AB=AE*AD
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