Question

1阶线性微分方程(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0的通解

如题

Answer 1

解：
(x³+y³)dx-3xy²dy=0

dy/dx=(x³+y³)/(3xy²)=[1+(y/x)³]/[3(y/x)²]
令u=y/x，y=ux，dy/dx=u+xdu/dx
代入方程得：u+xdu/dx=[1+u³]/(3u²)
xdu/dx=(1+u³-3u³)/3u²=(1-2u³)/3u²
3u²/(1-2u³)du=1/x dx
两端积分得：
-1/2·∫1/(1-2u³)d(1-2u³)=∫1/xdx
∫1/(1-2u³)d(1-2u³)=-2∫1/xdx

ln|1-2u³|=-2ln|x|+C1

ln|1-2u³|=ln|1/x²|+C1
1-2u³=C/x²
1-2y³/x³=C/x²

Answer 2

这是一个齐次方程。作代换u=y/x，把y都换成u和x就可以把u解出来了。
如果还不会请追问，我给你详细过程。

追问

求过程

追答

就是这样