Question

如图，在平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直

G、H分别是DF、BE的中点
1.求证：平面ABD⊥平面CDE
2.求证：GH∥平面CDE
2.求三棱锥D-CEF的体积

Answer 1

（1）∵平面ADE⊥平面ABD，ED⊥交线AD
∴ED⊥平面ABD。
∴平面ABD⊥平面CDE
（2）∵BC∥＝AD∥＝EF
∴BCEF为平行四边形
∴BE中点H也为CF中点
∴GH为△CDF的中位线
∴GH∥CD
∴GH∥平面CDE
（3)三棱锥D-CEF的体积即为三棱锥C-DEF的体积，记作V
V=1/3*（C到平面DEF的距离）*（△DEF的面积）
=1/3*（C到AD的距离）*（△DEF的面积）
=1/3*（根号3/2）*2=（根号3）/3（不难算出各边长度）

Answer 2

解：（1）正方形ADEF中ED⊥AD
∵平面ABCD⊥平面ADEF，交于AD，
∴ED⊥平面ABCD DE⊥CD
∵平面CDE与平面ABCD交于CD，
∴平面ABD⊥平面CDE
(2)连接AE。在正方形ADEF中AE必过DF中点G。∵EH=BH∴GH∥AB。
在平行四边形ABCD中，AB∥CD∴GH∥CD 故GH∥平面CDE
(3)∵∠BDC=90°，∠BCD=60°，CD=1 ∴BC=2∴AD=DE=EF=BC=2
过C作CG⊥AD于G。易得∠GDC=∠BCD=60°，∴CG=根号3/2*
∵平面ABCD⊥平面ADEF，交于AD∴CD⊥平面ADEF
故三棱锥D-CEF的体积是1/3DE*EF*CG=1/3*2*2*根号3/2=4/3根号3

Answer 3

解：（Ⅰ）证明：平面ADEF⊥ABCD平面，交线为AD
∵ED⊥AD
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BD
又∵BD⊥CD
∴BD⊥平面CDE