Question

已知，如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE=DE，P为对角线BD上一点，PF垂直BE于点F，PG垂直AD于点G。

求证：PF+PG=AB

Answer 1

延长GP交BC于点M
如果FP=PM那就好了
希望能够成真
证明：
延长GP交BC于点M，
因为在矩形ABCD当中，AD∥BC
于是∠ADB=∠DBC
还有BE=DE，于是∠EBD=∠EDB
所以∠EBD=∠DBC
所以BD是∠EBC平分线
还有显然PM⊥BC，PF⊥BF
有角平分线上的点到角两边距离相等
即PM=PF
于是PF+PG=PM+PG=GM=AB
于是得证了

Answer 2

首先做一条辅助线：连接EP
那么三角形BED的面积就是BPE+EDP=1/2*ED*PG+1/2*BE*PF
又知道BE=DE，那么BPE+EDP的面积是：1/2*ED*(PF+PG)
三角形BED的面积我们还可以通过1/2*ED*AB来表示

所以三角形BED的面积=1/2*ED*(PF+PG)=1/2*ED*AB
所以PF+PG=AB

Answer 3

延长GP交BC于点M
如果FP=PM

延长GP交BC于点M，
因为在矩形ABCD当中，AD∥BC
于是∠ADB=∠DBC
还有BE=DE，于是∠EBD=∠EDB
所以∠EBD=∠DBC
所以BD是∠EBC平分线
还有显然PM⊥BC，PF⊥BF
有角平分线上的点到角两边距离相等
即PM=PF
于是PF+PG=PM+PG=GM=AB