Question

不定积分x^6/根号（1+x^2)等于多少

Answer 1

x⁶ = x⁴[(1 + x²) - 1] = x⁴(1 + x²) - x⁴
= x⁴(1 + x²) - x²[(1 + x²) - 1] = x⁴(1 + x²) - x²(1 + x²) + x²
∫ x⁶/√(1 + x²) dx
= ∫ [x⁴(1 + x²) - x²(1 + x²) + x²]/√(1 + x²) dx
= ∫ x⁴√(1 + x²) dx - ∫ x²√(1 + x²) dx + ∫ x²/√(1 + x²) dx
x = tanz，dx = sec²z dz
√(1 + x²) = √(1 + tan²z) = √sec²z = secz
= ∫ tan⁴zsec³z dz - ∫ tan²zsec³z dz + ∫ tan²zsecz dz
= ∫ (sec²z - 1)²sec³z dz - ∫ (sec²z - 1)sec³z dz + ∫ (sec²z - 1)secz dz
= ∫ (sec⁴z - 2sec²z + 1)sec³z dz - ∫ (sec²z - 1)sec³z dz + ∫ (sec²z - 1)secz dz
= ∫ (sec⁷z - 2sec⁵z + sec³z) dz - ∫ (sec⁵z - sec³z) dz + ∫ (sec³z - secz) dz
= ∫ (sec⁷z - 3sec⁵z + 3sec³z - secz) dz
由正割的归约公式：
∫ secⁿx dx = (secⁿ⁻²xtanx)/(n - 1) + [(n - 2)/(n - 1)]∫ secⁿ⁻²x dx
∫ sec³z dz
= (1/2)secztanz + (1/2)∫ secz dz
∫ sec⁵z dz
= (1/4)sec³ztanz + (3/4)∫ sec³z dz
= (1/4)sec³ztanz + (3/4)[(1/2)secztanz + (1/2)∫ secz dz]
= (1/4)sec³ztanz + (3/8)secztanz + (3/8)∫ secz dz
∫ sec⁷z dz
= (1/6)sec⁵ztanz + (5/6)∫ sec⁵z dz
= (1/6)sec⁵ztanz + (5/6)[(1/4)sec³ztanz + (3/8)secztanz + (3/8)∫ secz dz]
= (1/6)sec⁵ztanz + (5/24)sec³ztanz + (5/16)secztanz + (5/16)∫ secz dz
∴
∫ x⁶/√(1 + x²) dx
= ∫ (sec⁷z - 3sec⁵z + 3sec³z - secz) dz
= [(1/6)sec⁵ztanz + (5/24)sec³ztanz + (5/16)secztanz + (5/16)∫ secz dz]
- 3[(1/4)sec³ztanz + (3/8)secztanz + (3/8)∫ secz dz]
+ 3[(1/2)secztanz + (1/2)∫ secz dz]
- ∫ secz dz
= (1/6)sec⁵ztanz - (13/24)sec³ztanz + (11/16)secztanz - (5/16)∫ secz dz
= (1/6)sec⁵ztanz - (13/24)sec³ztanz + (11/16)secztanz - (5/16)ln|secz + tanz| + C
= (x/6)(1 + x²)^(5/2) - (13x/24)(1 + x²)^(3/2) + (11x/16)√(1 + x²) - (5/16)ln|x + √(1 + x²)| + C
= (x/48)(8x⁴ - 10x² + 15)√(1 + x²) - (5/16)ln|x + √(1 + x²)| + C

这题并不难，只是过程有点复杂，次数高啊。你好好看吧，满意的话望赐予最佳答案，谢谢。

Answer 2

令x＝tanu，则：sinu＝x/√（1＋x^2），dx＝［1/（cosu）^2］du，
∴∫［x^6/√（1＋x^2）］dx
＝∫｛（tanu）^6/√［1＋（tanu）^2］｝［1/（cosu）^2］du
＝∫［（tanu）^6/cosu］du
＝∫｛［1－（cosu）^2］^3/cosu｝du
＝∫｛［1－3（cosu）^2＋3（cosu）^4－（cosu）^6］/cosu｝du
＝∫（1/cosu）du－3∫cosudu＋3∫（cosu）^3du－∫（cosu）^5du
＝∫［cosu/（cosu）^2］du－3sinu＋3∫（cosu）^2d（sinu）－∫（cosu）^4d（sinu）
＝∫｛1/［1－（sinu）^2］｝d（sinu）－3sinu＋3∫［1－（sinu）^2］d（sinu）
　－∫［1－（sinu）^2］^2d（sinu）
＝（1/2）∫｛（1－sinu＋1＋sinu）/［（1－sinu）（1＋sinu）］｝d（sinu）－3sinu
　＋3∫d（sinu）－3∫（sinu）^2d（sinu）－∫［1－2（sinu）^2＋（sinu）^4］d（sinu）
＝（1/2）∫［1/（1＋sinu）］d（sinu）＋（1/2）∫［1/（1－sinu）］d（sinu）－3sinu
　＋3sinu－（sinu）^3－∫d（sinu）＋2∫（sinu）^2d（sinu）－∫（sinu）^4d（sinu）
＝（1/2）ln（1＋sinu）－（1/2）ln（1－sinu）－（sinu）^3－sinu＋（2/3）（sinu）^3
　－（1/4）（sinu）^4＋C
＝（1/2）ln｛［1＋x/√（1＋x^2）］/［1－x/√（1＋x^2）］｝－x/√（1＋x^2）
　－（1/3）［x/√（1＋x^2）］^3－（1/4）［x/√（1＋x^2）］^4＋C
＝（1/2）ln｛［√（1＋x^2）＋x］/［√（1＋x^2）－x］｝－x/√（1＋x^2）
　－（1/3）［x/√（1＋x^2）］^3－（1/4）［x/√（1＋x^2）］^4＋C
＝ln［x＋√（1＋x^2）］－x/√（1＋x^2）－（1/3）［x/√（1＋x^2）］^3
　－（1/4）［x/√（1＋x^2）］^4＋C