Question

如图所示,四边形ABCD中,∠ADC=135°,∠BCD=120°,DC=7-2根号3,BC=2，AD=2根号6，求四边形ABCD的面积。

如图所示,四边形ABCD中,∠ADC=135°,∠BCD=120°,DC=7-2根号3,BC=2，AD=2根号6，求四边形ABCD的面积。

麻烦大家速度啊

Answer 1

过点b做be平行于与cd与ad相交于点e，过点c做cf垂直于与be与be相交于点f,过点d做dg垂直于与be与be相交于点g,
所以,∠BCF=30°,,∠ADG=45°,四边形dgfc为正方形
在rt△cfb中，可以求得cf=√3，fb=1，所以dg=√3
在rt△edg中，因为dg=√3，可以求得eg=√3，ed=√6，因为ad=2√6，所以ae=√6
所以be=√3+7-2√3+1=8－√3
现在过点a做ah垂直于与be的延长线与be延长线相交于点h
在rt△aeh中，可以知道∠AEH=45°，所以可以求得ah=2√3
现在基本的准备工作已经齐备，分别求
Square（rt△cfb）=0.5×cf×fb=0.5×√3×1=√3／2，
Square（rt△edg）=0.5×eg×dg=0.5×√3×√3=3／2，
Square（rt△aeh）=0.5×ah×eb=0.5×2√3×﹙8-√3﹚=8√3－3，
Square（正方形dgfc）=cd×dg=﹙7-2√3﹚×√3=7√3－6；
所以总面积=√3／2+3／2+8√3－3+7√3－6=﹙31√3－15﹚／2

追问

四边形dgfc为正方形 是为什么啊？

追答

四边形dgfc是长方形，因为be平行cd，cf垂直be，dg垂直be，所以cf平行dg，所以是平行四边形，又因为有直角，所以是长方形。推荐楼上答案，因为更容易看的懂。

追问

...好吧，不过你这样也可以，还是谢谢了

Answer 2

过A作AE⊥CD，交CD延长线于E，
过B作BF⊥CD，交DC延长线于F，
∵∠ADC=135°，∴∠ADE=45°，∴AE=DE=AD/√2=2√3，
∵BCD=120°，∴∠BCF=60°，∴CF=1/2BC=1，BF=√3，
∴EF=DE+CD+BF=2√3+7-2√3+1=8
∴S梯形AEFB=1/2(AE+BF)*EF=1/2*3√3*8=12√3，
SΔADE=1/2*(2√3)^2=6，SΔBCF=1/2*1*√3=√3/2。
∴S四边形ABCD=S梯形AEFB-SΔADE-SΔBCF=12√3-6-√3/2=23√3/2-6。