Question

已知函数g（x）=ax^2-2ax+1+b（a>0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=g(x)/x ．

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2x）-k•2x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的范围；
3.方程f(|2^x-1|)+k*( 2/|2^x-1|）-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．

Answer 1

(1)g(x)=a(x-1)^2+1+b-a,因为a>0,所以二次函数g（x）在[2,3]递增，把x=2，x=3代入函数，即可得
a=1,b=0

Answer 2

解：（Ⅰ）g（x）=a（x-1）2+1+b-a（a＞0），
当a＞0时，g（x）在区间[2，3]上为增函数，
故

g(3)＝4
g(2)＝1

，即

9a−6a+1+b＝4
4a−4a+1+b＝1

，解得

a＝1
b＝0

------（5分）
（Ⅱ）f（x）-kx≥0化为：x+
1
x
-2≥kx，
∵x＞0，
∴1+
1
x2
-
2
x
≥k，
∵1+
1
x2
-
2
x
=(
1
x
−1)2≥0（当x=1时取等号）
∴k≤0．----（10分）
（Ⅲ）方程f（|2x-1|）+k（
2
|2x−1|
-3）=0可化为：
|2x-1|2-（2+3k）|2x-1|+（1+2k）=0，|2x-1|≠0，
令|2x-1|=t，则方程化为
t2-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），
∵方程|2x-1|+
1+2k
|2x−1|
-（2+3k）=0有三个不同的实数解，
∴由t=|2x-1|的图象知，
t2-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，
且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．
记φ（t）=t2-（2+3k）t+（1+2k），
则

φ(0)＝1+2k＞0
φ(1)＝−k＜0

或

φ(0)＝1+2k＞0
φ(1)＝−k＜0
0＜
2+3k
2
＜1

∴k＞0------（16分）

Answer 3

??