Question

如图，已知，四边形ABCD中，角ABC=角ADC=90度，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是AC、BD的中点

如图，已知，四边形ABCD中，角ABC=角ADC=90度，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是AC、BD的中点
（1）求证：MN丄BD
（2）若角BAC=15度，AC=10cm，OB=OM的长

Answer 1

（1）证明：连接BM、DM．
∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、想BD的中点，
∴BM=DM=1/2AC
∵N是BD的中点，
∴MN是BD的垂直平分线，
∴MN⊥BD．

（2）解：∵∠BCA=15°，BM=CM=1/2AC
∴∠BCA=∠CBM=15°，
∴∠BMA=30°，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠BMA=30°，
∵AC=10，BM=1/2AC
∴BM=5，
在三角形OMB中，过点O垂直MB,垂足为点E、所以ME=1/2MB=2.5
那么OM=ME/cos30°=5/3根号3

Answer 2

⑴∵M是AC的中点，∠ABC=∠ADC=90°，
∴BM=1/2AC，DM=1/2AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴BM=DM，又N是ND的中点，
∴MN⊥BD(等腰三角形三线合一)，
⑵不知求什么。

追问

求OB=OM

追答

OB≠OM，无法证明。
想像，∠A=15°，只要保证∠BOC=30°，
当D滑动时，O向M靠近，而OB反而更长，
反之D移向C的过程中，OM越来越长，
但OB先短后长(垂线段最短)。

(以AC为直径画圆M，则B、D都在圆上)。

Answer 3

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