Question

如何推导太阳与行星间的引力

Answer 1

首先要熟悉万有引力定律。

根据该定律，只要知道太阳和行星的质量与距离就可导出引力。但这三样都不是可以直接测量的。所以平时我们只好依据开普勒三大定律，由天文观测得出行星运行周期，然后推导求解。

由开普勒定律推导万有引力定律如下：

若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即：
  ω=2π/T(周期)
  如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是T，那么由运动方程式可得，行星受到的力的作用大小为
  mrω^2=mr（4π^2）/T^2
  另外，由开普勒第三定律可得
  r^3/T^2=常数k'
  那么沿太阳方向的力为
  mr（4π^2）/T^2=mk'（4π^2）/r^2
  由作用力和反作用力的关系可知，太阳也受到以上相同大小的力。从太阳的角度看，
  （太阳的质量M）（k''）（4π^2）/r^2
  是太阳受到沿行星方向的力。因为是相同大小的力，由这两个式子比较可知，k'包含了太阳的质量M，k''包含了行星的质量m。由此可知，这两个力与两个天体质量的乘积成正比，它称为万有引力。
  如果引入一个新的常数（称万有引力常数），再考虑太阳和行星的质量，以及先前得出的4·π2，那么可以表示为
  万有引力=(GmM)/(r^2) 两个通常物体之间的万有引力极其微小，我们察觉不到它，可以不予考虑。比如，两个质量都是60千克的人，相距0.5米，他们之间的万有引力还不足百万分之一牛顿，而一只蚂蚁拖动细草梗的力竟是这个引力的1000倍！但是，天体系统中，由于天体的质量很大，万有引力就起着决定性的作用。在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力已经具有巨大的影响，它把人类、大气和所有地面物体束缚在地球上，它使月球和人造地球卫星绕地球旋转而不离去。
  当在某星球表面作圆周运动时，可将万有引力看作重力，既有mg=(GmM)/(r^2) ，此时有GM=g(r^2)，为黄金代换公式。且有mrω^2=mr（4π^2）/T^2=mg。（此结论仅用于星球表面）