Question

设A和E-AB都是n阶可逆矩阵,证明E-BA也可逆。 这个证明题怎么做？

Answer 1

A和E-AB都是n阶可逆矩阵，则存在n阶可逆矩阵A'、C，使A'A=AA'=E及(E-AB)C=E，可得
E-AB=C'，等式两边左乘A'右乘A得A'EA-A'ABA=A'C'A，即E-BA=A'C'A。由A、C可逆知A'C'A也可逆，即E-BA也可逆。

Answer 2

证: 因为
(E-BA)[E+B(E-AB)^-1A]
= E-BA+B(E-AB)^-1A-BAB(E-AB)^-1A
= E-BA+B(E-AB)(E-AB)^-1A
= E-BA+BA
= E.
所以 E-BA 可逆, 且 (E-BA)^-1 = E+B(E-AB)^-1A.