Question

解方程:根号(x+1)+根号(x-1)-根号(x方-1)=x

Answer 1

根号(x+1)+根号(x-1)-根号(x方-1)=x
√(x+1)+√(x-1)-√(x²-1)=x
√(x+1)+√(x-1)=√(x²-1)+x
(x+1)+2√[(x+1)(x-1)]+(x-1)=(x²-1)+2x√(x²-1)+x²
x+1+2√(x²-1)+x-1=x²-1+2x√(x²-1)+x²
2x+2√(x²-1)=2x²-1+2x√(x²-1)
2√(x²-1)-2x√(x²-1)=2x²-2x-1
(2-2x)√(x²-1)=2x²-2x-1
√(x²-1)=(2x²-2x-1)/(2-2x)
√(x²-1)=(-2x²+2x+1)/(2x-2)
√(x²-1)=(1-2x²+2x)/(2x-2)
√(x²-1)=1/(2x-2)-(2x²-2x)/(2x-2)
√(x²-1)=1/(2x-2)-x
x²-1=1/(2x-2)²-2x/(2x-2)+x²
1/(2x-2)²-2x/(2x-2)+1=0
1-2x(2x-2)+(2x-2)²=0
1-4x²+4x+4x²-8x+4=0
1+4x-8x+4=0
4x=5
x=5/4
代入验算
左边=√(5/4+1)+√(5/4-1)-√(25/16²-1)
=√(9/4)+√(1/4)-√(9/16)
=3/2+1/2-3/4
=4/2-3/4
=8/4-3/4
=5/4
=右边
所以
x=5/4是原方程的根

Answer 2

试错法得到x=5/4符合上式子；
又构造副主函数f(x)=根号(x+1)+根号(x-1)-根号(x方-1)-x
f'(x)=[根号(x+1)+根号(x-1)-2根号(x方-1)-2x]/[2根号(x方-1)]=[-根号(x方-1)-x]/[2根号(x方-1)]<0
知f(x)在定义域上单调递减，所以f(x)=0有且仅有一个零点；
综上，此式子只有x=5/4一个解

Answer 3

把根号(x+1)+根号(x-1)-根号(x方-1)=x变为
根号(x+1)-x=根号(x方-1)-根号(x-1)
两侧平方得
x方+x+1-2x根号(x+1)=x方+x-2-2(x-1)根号(x+1)
约去同类项得
3=2根号(x+1)
两侧平方得
9=4(x+1)
解得x=5/4

Answer 4

x=(根号5)/2