Question

已知三角形ABC的两条高线所在直线的方程为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A（1，2），求（1）BC边所在直线方程

（2）三角形ABC的面积

Answer 1

【分析】
（1）判断点A不在两条高线，由高线求出AB、AC边所在直线的斜率再把点A的坐标代入点斜式方程，化简求出AB、AC边所在直线的方程，联立高线方程求出B、C的坐标，最后求出所求的直线方程；
（2）由（1）的结果求BC的长和BC边上的高，代入三角形的面积公式求解。
【解答】
解：
（1）
∵A（1，2）点不在两条高线2x-3y+1=0和x+y=0上
∴AB、AC边所在直线的斜率分别为-3/2和1
代入点斜式得：
y-2=(-3/2)(x-1)
y-2=x-1
∴AB、AC边所在直线方程为：
3x+2y-7=0
x-y+1=0
由
2x-3y+1=0
x-y+1=0
解得：
x=-2
y=-1
∴C（-2，-1）
同理可求 得：
B（7，-7）
∴边BC所在直线的斜率k=(-1+7)/(-2-7)=-2/3
方程是：y+1=(-2/3)(x+2)
化简得：
2x+3y+7=0
∴边BC所在直线的方程为： 2x+3y+7=0
（2）
由（1）得：
|BC|=√[(7+2)²+(-7+1)²]=√117=3√13
点A到边BC的高为：
h=(2+6+7)/√(4+9)=15/√13
∴△ABC的面积为：
S=(1/2)×|BC|×h=(1/2)×3√13×(15/√13)=45/2=22.5

Answer 2

（1）容易判断 A 不在两条高上，因此这两条高是 AB、AC边上的高，
由于两条高的斜率分别是 2/3、-1 ，
所以 kAB= -3/2 ，kAC= 1 ，
由点斜式可得直线 AB 、AC 方程分别为 y-2= -3/2*(x-1) 、y-2=x-1 ，
化简得 AB ：3x+2y-7=0 ，AC：x-y+1=0 ，
解方程组｛3x+2y-7=0 ；x+y=0 得 B（7，-7），
解方程组｛x-y+1=0 ；2x-3y+1=0 得 C（-2，-1），
所以，由两点式可得直线 BC 的方程为 (y+7)/(-1+7)=(x-7)/(-2-7) ，
化简得 2x+3y+7=0 。

（2）由（1）得 |BC|=√[(7+2)^2+(-7+1)^2]=3√13 ，
A 到直线 BC 的距离为 h=|2+6+7|/√(4+9)=15/√13 ，
所以 SABC=1/2*|BC|*h=45/2 。

Answer 3

分析：A不在已知的两条直线上，故这两条直线是分别是边AB，AC上的高，就可求出AB，AC两边所在直线的方程，求出项点B，C，就可求BC所在直线的方程2x+3y+7=0。求｜BC｜，再求A到时BC的距离就可求面积。

Answer 4

解答：由△ABC的三条高线相交于同一点。
则由①2x－3y＋1=0，
②x＋y=0
两条高线求出交点坐标O﹙－1／5，1／5﹚，
∴BC边的高就是直线AO，
由A、O两点坐标可以求AO直线方程：
y=﹙3／2﹚x＋½