Question

求助一道行列式求值，求解题思路。如图所示

Answer 1

最直接无脑的方法是根据公式求3阶行列式
下面用特征根的方法做：
这个行列式可以看做求|xE-A|，即矩阵A的特征多项式
矩阵
A= 1 -3 3
3 -5 3
6 -6 4
再用初等变换把A变成上三角矩阵，就可以的出A的3个特征值x1,x2,x3(特征值就不求了)
则|xE-A|=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
由所给矩阵可知x^3的系数为1，故a=1
即|xE-A|=(x-x1)(x-x2)(x-x3)

我猜提问者的本意应该是求特征值，但直接给出了行列式
虽然楼下的您是个老师，但不知您是否验证过可以这样求，下面我就用我的方法求出来,，让您老见识下，即使我的不是最简单的：
Tij(c)*A表示A的第i行乘以c加至第j行
A*Tij(c)表示A的第j列乘以c加至第i行
其中Tij(c)是初等矩阵，它的逆矩阵为Tij(-c)
T12(1)*T31(1)*T23(-2)*A*T23(2)*T31(-1)*T12(-1)= B = -2 3 0
0 4 0
0 0 -2
令P=T12(1)*T31(1)*T23(-2)，则PAP^(-1)=B
即A和B相似，从而A的特征值是-2(两重)，4
所以原行列式=(x-4)(x+2)^2

Answer 2

抢ID是开玩笑吧 呵呵
将A用初等变换把A变成上三角矩阵，就可以的出A的3个特征值x1,x2,x3(特征值就不求了)
若这样的话同学们就有福了^_^

请参考以下做法.
A =
1 -3 3
3 -5 3
6 -6 4
解: |A-λE| =
1-λ -3 3
3 -5-λ 3
6 -6 4-λ
r1-r2,r3-2r2
-2-λ 2+λ 0
3 -5-λ 3
0 4+2λ -2-λ
c2+c1+2c3
-2-λ 0 0
3 4-λ 3
0 0 -2-λ
= (4-λ)(2+λ)^2
所以 A 的特征值为 4,-2,-2.