Question

已知，如图：四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。

老师您好，我又向您请教问题了。已知，如图：四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，

（1）求证：直线MN⊥直线CD；
（2）若角PDA=45度求证MN⊥平面PCD

Answer 1

证明：
（1）取CD中点E，连接ME，NE
则显然ME⊥CD ①
且NE//PD
∵ PA⊥平面ABCD，
∴ PA⊥CD
又CD⊥AD
∴ CD⊥平面PAD
∴ CD⊥PD
∴ CD⊥NE ②
由①②
CD⊥平面MNE
∴ 直线MN⊥直线CD
（2）若角PDA=45度
∴PA=AD
取PD中点F
连接AF，NF
则AF⊥PD
∵ AM//CD，AM=(1/2)CD
NF//CD，NF=(1/2)CD
∴ 四边形AMNF是平行四边形
∴ MN//AF
∴ MN⊥PD
又由（1）MN⊥CD
∴ MN⊥平面PCD