Question

数学函数问题！！！很难啊

已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2，x∈[-1,1]
问：关于x的方程f(x)=2a²有解，求实数a的取值范围（我算出的范围为[-17/6, -√2]U[√2, 17/6])
到底对不对？？不确定...

Answer 1

把f(x)展开得：f(x)=2^2x+2^(-2x)-2a*2^x+2a*2(-x)+2a²
f(x)=(2^x-2^-x)²+2-2a(2^x-2^-x)+2a²
令y=f(x)，t=2^x-2^-x，
显然t=2^x-2^-x在[-1,1]上是增函数；
所以，易得t∈[-3/2,3/2]
所以，y=t²-2at+2a²+2
由题意得：方程：t²-2at+2a²+2=2a²在t∈[-3/2,3/2]上有解
即：t²-2at+2=0在t∈[-3/2,3/2]上有解
分离变量：2at=t²+2
显然t=0不是该方程的解，所以，2a=t+2/t
令h(t)=t+2/t，t∈[-3/2,0)U(0,3/2]
这是一个对勾函数（耐克函数），勾底为t=±√2
易得h(t)∈(-∞,-2√2]U[2√2,+∞)
即：2a∈(-∞,-2√2]U[2√2,+∞)
所以，a∈(-∞,-√2]U[√2,+∞)

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

很不错！！跟我写的差不多，不过你那个t是有范围的，为什么到最后变成了a∈(-∞,-√2]U[√2,+∞)

追答

2a=t+2/t
令h(t)=t+2/t，t∈[-3/2,0)U(0,3/2]
这是一个对勾函数（耐克函数），勾底为t=±√2
易得h(t)∈(-∞,-2√2]U[2√2,+∞)
即：2a∈(-∞,-2√2]U[2√2,+∞)
所以，a∈(-∞,-√2]U[√2,+∞)

用心一点看哦，我相信你能看懂的~~

追问

在每个象限内，这个耐克函数都是增函数，所以在t=-3/2时对应的应该是最小值....
相反，t=3/2时对应的应该是最大值..可是最大值和最小值不会是无穷大啊？
而且为什么要把上面的t∈[-3/2,3/2]拆成t∈[-3/2,0)U(0,3/2]，就不对了吧...由这个范围确实得出的解为a∈(-∞,-√2]U[√2,+∞)，我知道的，请解释下为什么要拆？谢谢

追答

不是的，
令h(t)=t+2/t，t∈[-3/2,0)U(0,3/2]
这是一个对勾函数（耐克函数），勾底为t=±√2
-3/2<-√2，√2<3/2
所以，h(t)在[-3/2,-√2]上递增，在[-√2,0)上递减；
在(0,√2]上递减，在[√2,3/2]上递增；
你错在没有细心比较勾底和区间端点~~

追问

＋！！！！！你厉害，我错在没有搞清耐克函数，哎

追答

嗯，是的。
至于为啥要拆，那是因为
分离变量：2at=t²+2
显然t=0不是该方程的解，所以，2a=t+2/t，t≠0
所以，令h(t)=t+2/t，t∈[-3/2,0)U(0,3/2]

追问

对了，我发现一个问题：就是用△算也能算出这个解，问一下用这个算对不对？好像也太简单了！！！！是不是我们想多了......！！！- -

追答

t²-2at+2=0在t∈[-3/2,3/2]上有解

你的意思是这个方程只考虑△≧0？
4a²-8≧0
得：a²≧2

这是不行的，这纯属巧合，如果只考虑△，那就是用根的分布做了
需要考虑在区间[-3/2,3/2]内有一个根和两个根的情况，很繁琐，比分离变量繁琐。

Answer 2

设t=2^x, x∈[-1,1], 则1/2≤t≤2,
f(x)=(t-a)²+(1/t+a)²=t²+1/t²-2at+2a/t+2a²=(t-1/t)²-2a(t-1/t)+2a²+2
令 p=t-1/t, 容得p为增函数,故t∈[1/2,2],则 -1.5≤p≤1.5
f(x)=p²-2ap+2a²+2

f(x)=2a²

f(x)=p²-2ap+2a²+2=2a² 即 p²-2ap+2=0
p²-2ap+2=0 ① 在[-1.5,1.5]有解
判别式⊿=4a²-8≥0 a²≥2
即a≥√2 或者 a≤-√2
而从①知 p≠0,则
a=(p²+2)/(2p)=(p+2/p)/2
而函数g(x)=p+2/p的极值点为 p=±√2
综合a的极值在p=-1.5和p=1.5两个端点
当p=1.5, a=(p+2/p)/2=(3/2+4/3)/2=17/12 为最大值
当p=-1.5, a=(p+2/p)/2=-(3/2+4/3)/2=-17/12 为最小值
a的取值范围：[-17/12, -√2]U[√2, 17/12]

Answer 3

f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2
=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x）a+2a^2
关于x的方程f(x)=2a²有解，即2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x）a+2a^2=2a²有解
2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x）a=0有解
a=（2^2x+2^-2x）/2（2^2x-2^-2x）=（2^4x+1）/2（2^4x-1）=1/2+1/(2^4x-1）
x∈[-1,1]，所以a的范围是-17/30<a<17/30

Answer 4

对！
令t=2^x, 则1/2=<t<=2,
令p=t-1/t, 则-1.5=<p<=1.5
f(x)=(t-a)^2+(1/t+a)^2=t^2+1/t^2-2at+2a/t+2a^2=(t-1/t)^2-2a(t-1/t)+2a^2+2=p^2-2ap+2a^2+2=(p-a)^2+a^2+2
若-1.5=<a<=1.5, 则最小值为p=a时，fmin=a^2+2
若a>1.5, 则fmin为p=1.5时，fmin=4.25-3a+2a^2
若a<-1.5,则fmin为p=-1.5时，fmin=4.25+3a+2a^2
f(x)=p^2-2ap+2a^2+2=2a^2
即p^2-2ap+2=0有位地[-1.5,1.5]的解
p显然不为0，所以有：a=(p^2+2)/(2p)=(p+2/p)/2
|p+2/p|>=2√2, , 当|p|=√2时取等号
a的最大值在端点，当p=1.5, a=3/2+4/3=17/6
因此由对称性得a的范围：[-17/6, -2√2]U[2√(2, 17/6]

追问

你复制的！！！再说答案不一样哎╮(╯▽╰)╭.........[-17/6, -√2]U[√2, 17/6]！！！！！！我的答案是这个根号2，不是2根号2！！！

追答

刚才看错了，就是现在这个答案

追问

什么╮(╯▽╰)╭，说了你复制的！现在死皮赖脸说我对.....给个理由！！！

追答

我是说你的不对，
a=(p^2+2)/(2p)=(p+2/p)/2
|p+2/p|>=2√2,
你检查下你这个地方

追问

- -，呵呵你是错的吧，这个地方是 |p+2/p|>=2√2，所以|2a|≥2根号2，则相对应的a应该为根号2！！！

Answer 5

方程f（x）=2a2有解，即方程t2-2at+2=0在[-3/2,3/2]
上有解，而t≠0

∴2a=t+2/t，可证明t+2/t
在(0，根号2）上单调递减
(根号2,3/2）上单调递增t+2/t≥2根号2+2/t为奇函数
∴当t∈(-3/2,0）时t+2/t≤-2根号2

∴a的取值范围是(-∞，-根号2）∪[根号2，+∞)
望采纳，谢谢
祝学习天天向上，不懂可以继续问我
我级别低，求楼主帮忙拉下我等级，谢谢了

Answer 6

文化知识有限，路过，无能为力啊！

追问

阿偶...