Question

设n阶矩阵A满足 AT A=I，detA=-1，证明-1是A的一个特征值

所以 |A+E|=0
所以 -1 是A的的一个特征值.
这是为什么？

Answer 1

这是特征值的定义推导出来的.
λ是A的特征值的充要条件是 λ 是 |A-λE| = 0 的解.

所以 |A+E|=0 时有 |A-(-E)| = 0
所以 -1 是A的一个特征值

Answer 2

证明 由A^TA=E
得A+E=A+ATA=(E+A^T)A
所以
|A+E|=|E+A^T||A|=|(E+A)^T|A=|E+A||A|=|E+A|*(-1)
2|A+E|=0
|A+E|=0
所以-1是特征值

Answer 3

证明 由A^TA=E
得A+E=A+ATA=(E+A^T)A
所以
|A+E|=|E+A^T||A|=|(E+A)^T|A=|E+A||A|=|E+A|*(-1)
|A+E|=0
所以-1是特征值