Question

已知函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c在x=2处取得极值，并且它的图像与直线y=-3x+3在点（1,0）处相切 求abc的值。

Answer 1

函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c在x=2处取得极值
说明f（x）的导数f（x）'在x=2时 为0
f（x）' =3x²+2ax+b 12+4a+b=0 ①
它的图像与直线y=-3x+3在点（1,0）处相切
说明在（1 ，0）点的斜率为-3
3+2a+b =-3 ②
联立得a=-3 b=0
函数过（1 ，0）代入 f（0）=c =0
所以a=-3 b=0 c=0

Answer 2

先求导，f'(x)=3x^2+2ax+b
由题意得，f'(-2)=0,所以12-4a+b=0
因为其与直线y=-3x+3相切,切点是（1，0），因此可知其过点（1,0）,且当x=1时，导函数的值为-3
所以1+a+b+c=0,3+2a+b=-3
联立这三个方程，可解得a=1,b=-8,c=6

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Answer 3

求导，f'(x)=3x^2+2ax+b

因在x=2处取得极值，故f'(2)=12+4a+b=0
由f(x)与y=-3x+3在点（1,0）处相切，故f'(1)=3+2a+b=-3，且f(1)=1+a+b+c=0
根据以上三式，解得a=-3，b=0，c=2