Question

x跟sinx的n次幂的乘积在0到∏上的积分怎么算？

(sinx)的n次方乘以x在0到∏让积分。有一个公式，我想知道怎么推导的。

Answer 1

首先做一点简化：
∫ [从0到π]x*(sinx)^ndx= ∫ [从0到π/2]x*(sinx)^ndx+∫ [从π/2到π]x*(sinx)^ndx
其中在计算∫ [从π/2到π]x*(sinx)^ndx的时候可以令t=π-x
则∫ [从π/2到π]x*(sinx)^ndx=∫ [从π/2到0](π-x)*(sin(π-x))^nd(π-x)
=∫ [从0到π/2](π-t)*(sint)^ndt=∫ [从0到π/2](π-x)*(sinx)^ndx，和第一项合并
所以原式=∫ [从0到π/2]π*(sinx)^ndx=π∫ [从0到π/2](sinx)^ndx .........................(1)
于是原题就转化成了求∫ [从0到π/2](sinx)^ndx，下面的积分不特殊说明都是从0到π/2
记An=∫ (sinx)^ndx,
则An=∫ (sinx)^ndx==∫ (sinx)^(n-1)d(-cosx)=(sinx)^(n-1)*(-cosx)+∫ cosxd(sinx)^(n-1)
=0+∫ (n-1)(cosx)^2(sinx)^(n-2)dx=(n-1)∫ (1-(sinx)^2)(sinx)^(n-2)dx
=(n-1)∫ (sinx)^(n-2)dx-(n-1)∫ (sinx)^ndx
=(n-1)A(n-2)-(n-1)An
所以An=A(n-2) * (n-1)/n
这就给出了一个递推关系，直接计算得A0=π/2,A1=1
所以A(2n)=(2n-1)!!/(2n)!! *π/2, A(2n+1)=(2n)!!/(2n+1)!!
带回到(1)式，原式=π*An,带入即可