Question

概率论问题

2个随机变量X,Y，E(X^2)和E(Y^2)都存在，证明：[E(XY)]^2<=E(X^2)*E(Y^2)
跪求大神解答

Answer 1

这是柯西－许瓦兹不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)。
证：对于任意实变量t，考虑函数
q(t) = E[(X+tY)²]
= E(Y²)t² + 2E(XY)t + E(X²).
显然，对于一切实数t，q(t)≥0。这就意味着q(t)的判别式小于等于0，即
delta=4[E(XY)]² - 4[E(X)² E(Y)²] ≤ 0.
也就是
[E(XY)]² ≤ E(X²) E(Y²)

追问

看懂了，我还想问一下，你的平方那个2是怎么打上去的啊

追答

直接打拼音 pingfang 然后第五个

Answer 2

证明：
对于任意实变量t，
q(t) = E[(X+tY)²]
= E(Y²)t² + 2E(XY)t + E(X²).
对于一切实数t，q(t)≥0
即： Δ=4[E(XY)]² - 4[E(X)² E(Y)²] ≤ 0.
====〉 [E(XY)]² ≤ E(X²) E(Y²)