Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,过坐标原点O且斜率

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,过坐标原点O且斜率为1/2的直线L与C相交A,B.|AB|=2根号10，问，若动圆(x-m)^2+y^2=1与椭圆C和直线l都没共公点，试求m的取值范围，要过程

Answer 1

椭圆C：e²=(√3/2)²=1-(b/a)²，所以 a=b；
直线L过坐标原点O且斜率为1/2，由椭圆对称性，OA=OB=
椭圆C：e²=(√3/2)²=1-(b/a)²，所以 a=b；
直线L过坐标原点O且斜率为1/2，由椭圆对称性，OA=OB=√10，所以A或B其中一点坐标应为(2√2,√2)，代入C方程：(2√2)/(2b)²+(√2)/b²=1，得b=2，a=4；
将直线L：y=x/2代入圆方程：(2y-m)²+y²=1，当两者无交点时，(4m)²-4*5*(m²-1)<0，所以 m²>5；
由圆方程得：y²=1-(x-m)²，代入C方程：x/16+[1-(x-m)²]/4=1，无交点时应有：(8m)²-4*3*(4m²+12)<0；所以 m²<36；
综合以上两方面要求，5<m²<36；即-6<m<-√5，√5<m<6；

Answer 2

椭圆C：e²=(√3/2)²=1-(b/a)²，所以 a=b；
直线L过坐标原点O且斜率为1/2，由椭圆对称性，OA=OB=
椭圆C：e²=(√3/2)²=1-(b/a)²，所以 a=b；
直线L过坐标原点O且斜率为1/2，由椭圆对称性，OA=OB=√10，所以A或B其中一点坐标应为(2√2,√2)，代入C方程：(2√2)/(2b)²+(√2)/b²=1，得b=2，a=4；
将直线L：y=x/2代入圆方程：(2y-m)²+y²=1，当两者无交点时，(4m)²-4*5*(m²-1)<0，所以 m²>5；
由圆方程得：y²=1-(x-m)²，代入C方程：x/16+[1-(x-m)²]/4=1，无交点时应有：(8m)²-4*3*(4m²+12)<0；所以 m²<36；
综合以上两方面要求，5<m²<36；即-6<m<-√5，√5<m<6；