Question

已知椭圆的两个焦点F1(0.1),F2(0.-1),且a²/c=4,A1,A2分别是椭圆的上下两个顶点

1.求椭圆的方程
2.设以原点为顶点,A1为焦点的抛物线为C,若过点F1的直线与C相交于M,N两点,求线段MN的中点的轨迹方程

Answer 1

解答：
（1）两个焦点F1(0.1),F2(0.-1),
∴ c=1,且焦点在y轴上
∵ a²/c=4，
∴ a²=4,∴ b²=a²-c²=3
∴ 椭圆方程为y²/4+y²/3=1
（2）上顶点A1(0,2)
C是以原点为顶点,A1为焦点的抛物线，
∴C的方程为x²=8y
F1(0,1)
设M(x1,y1),N(x2,y2), MN中点P(x,y)
则 x1²=8y1 ①
x2²=8y2 ②
①-②
∴ (x1-x2)(x1+x2)=8(y1-y2)
∴ K(MN)=(y2-y1)/(x2-x1)=(x1+x2)/8=2x/8=x/4
又K(MN)=K(PF1)=(y-1)/x
∴ x/4=(y-1)/x
化简得 x²=4(y-1)
即 线段MN的中点的轨迹方程 x²=4(y-1)

追问

又K(MN)=K(PF1)=(y-1)/x 为什么斜率相等

追答

斜率公式啊
P，F1都在直线MN上。

Answer 2

c=1,a²=4,b²=3
椭圆方程为x²/4+y²/3=1
设抛物线为x²=2py,
p/2=1,则抛物线为x²=4y
设过F1的直线斜率为K
则直线为y=kx+1,
与x²=4y联立可得x²-4kx-4=0
故x1+x2=4k,x1*x2=-4
y1+y2=1/4(x1²+x2²)=1/4(16k²+8)=4k²+2
所以中点为(2k,2k²+1)
所以方程满足x=2k,y=2k²+1
故y=1/2x²+1

Answer 3

c=1
a=2
x²/4+y²/3=1