设函数fx=e的x次方-1-x-ax 若当x≥0,f(x)≥0,求a 的取值范围

cumteric8001
2012-12-19 · TA获得超过1万个赞
知道大有可为答主
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解:f(x)=e^x-1-x-ax
f'(x)=e^x-(a+1)
若a+1≤0,也即a≤-1,则f'(x)>0,f(x)严格单增,故只需f(0)≥0,1-1-(a+1)*0≥0,得0≥0恒成立。故a≤-1时满足题意。
若a+1>0,也即a>-1,则方程f'(x)=e^x-(a+1)=0有实数解x=ln(a+1)。
此时f''(x)=e^x=e^[ln(a+1)]=a+1>0,故f[ln(a+1)]为f(x)在区间[0,+∞)上的极小值。因此只需f[ln(a+1)]≥0,也即e^[ln(a+1)]-1-(a+1)ln(a+1)=a+1-1-(a+1)ln(a+1)=a-(a+1)ln(a+1)≥0
也即ln(a+1)-a/(a+1)≤0
考虑函数g(a)=ln(a+1)-a/(a+1),a>-1,显然g(0)=0,g'(a)=1/(a+1)-1/(a+1)^2=a/(a+1)^2。
若a>0,则g'(a)>0,当a>0时有g(a)>g(0)=0,与g(a)≤0矛盾。
当-1<a≤0时,则f(0)=0,f'(x)=e^x-(a+1)≥e^0-(a+1)=-a≥0,故当x≥0,f(x)≥0恒成立。
于是,当且仅当a≤0时,对x≥0,均有f(x)≥0成立。
也即a的取值范围是:a≤0
留念放不下
2012-12-19
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求导,讨论其在取值范围内的,增减性,极小指点,函数大于零。还有就是为曾函数时,当X为零时。函数值为零,a的值。
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hiramshen
2012-12-19 · TA获得超过657个赞
知道小有建树答主
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f(x)=e^x-1-x-ax = e^x - (1+x+ax)
当x=0, e^x=1, f(x)=0
设 y1=e^x, y2=ax+x+1=(a+1)x+1
f(x) = y1 - y2 >= 0 即 y1 >= y2
当 x=0, y1 = 1, y2 = 1, y1 的切线斜率为 e^0 = 1,
如果 y2 的直线斜率大于1, 则 y1 和 y2 在 x=b > 0 的地方必有另一个交点, 而在
x = (0, b) 之间,y1 < y2.
所以 y2 的直线斜率 = (a+1) <= 1,a <= 0
更多追问追答
追问
为什么要求切线斜率
追答
不知道你学过微积分没有?这里用了一些微分的知识。求切线斜率是解这题的一种方法,比较简单。否则你可能得解f(x) > 0。
如我所提出的,f(x) = y1-y2。我们可以在xy-平面上画出y1, y2 两条曲线。如果当x>=0时,y1 >= y2,即 y1 总在 y2 之上,则f(x) = y1-y2 >= 0 。已知当x=0, y1, y2 都是0, 即y1, y2 都过(0, 0)。如果在(0, 0) 这点上,y1, y2的切线斜率相等,则y1, y2 相切于(0, 0),且对所有 x >0,y1 > y2. 如果y2 的切线斜率大于y1的切线斜率,y1, y2 相交于(0, 0),并且可以证明
y2(0+delta) > y1(0+delta),则f(x) = y1-y2 0,y1 > y2;对所有 x < 0,y1 < y2,不过这不在我们考虑范围之内。
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