Question

设函数fx=e的x次方-1-x-ax 若当x≥0,f(x)≥0,求a 的取值范围

Answer 1

解：f(x)=e^x-1-x-ax
f'(x)=e^x-(a+1)
若a+1≤0，也即a≤-1，则f'(x)>0，f(x)严格单增，故只需f(0)≥0，1-1-(a+1)*0≥0，得0≥0恒成立。故a≤-1时满足题意。
若a+1>0，也即a>-1，则方程f'(x)=e^x-(a+1)=0有实数解x=ln(a+1)。
此时f''(x)=e^x=e^[ln(a+1)]=a+1>0，故f[ln(a+1)]为f(x)在区间[0,+∞)上的极小值。因此只需f[ln(a+1)]≥0，也即e^[ln(a+1)]-1-(a+1)ln(a+1)=a+1-1-(a+1)ln(a+1)=a-(a+1)ln(a+1)≥0
也即ln(a+1)-a/(a+1)≤0
考虑函数g(a)=ln(a+1)-a/(a+1)，a>-1，显然g(0)=0,g'(a)=1/(a+1)-1/(a+1)^2=a/(a+1)^2。
若a>0，则g'(a)>0，当a>0时有g(a)>g(0)=0，与g(a)≤0矛盾。
当-1<a≤0时，则f(0)=0，f'(x)=e^x-(a+1)≥e^0-(a+1)=-a≥0，故当x≥0,f(x)≥0恒成立。
于是，当且仅当a≤0时，对x≥0，均有f(x)≥0成立。
也即a的取值范围是：a≤0

Answer 2

求导，讨论其在取值范围内的，增减性，极小指点，函数大于零。还有就是为曾函数时，当X为零时。函数值为零，a的值。

Answer 3

f(x)=e^x-1-x-ax = e^x - (1+x+ax)
当x=0, e^x=1, f(x)=0
设 y1=e^x, y2=ax+x+1=(a+1)x+1
f(x) = y1 - y2 >= 0 即 y1 >= y2
当 x=0, y1 = 1, y2 = 1, y1 的切线斜率为 e^0 = 1,
如果 y2 的直线斜率大于1, 则 y1 和 y2 在 x=b > 0 的地方必有另一个交点, 而在
x = (0, b) 之间，y1 < y2.
所以 y2 的直线斜率 = (a+1) <= 1，a <= 0

追问

为什么要求切线斜率

追答

不知道你学过微积分没有？这里用了一些微分的知识。求切线斜率是解这题的一种方法，比较简单。否则你可能得解f(x) > 0。
如我所提出的，f(x) = y1-y2。我们可以在xy-平面上画出y1, y2 两条曲线。如果当x>=0时，y1 >= y2，即 y1 总在 y2 之上，则f(x) = y1-y2 >= 0 。已知当x=0, y1, y2 都是0, 即y1, y2 都过(0, 0)。如果在(0, 0) 这点上，y1, y2的切线斜率相等，则y1, y2 相切于(0, 0)，且对所有 x >0，y1 > y2. 如果y2 的切线斜率大于y1的切线斜率，y1, y2 相交于(0, 0)，并且可以证明
y2(0+delta) > y1(0+delta)，则f(x) = y1-y2 0，y1 > y2；对所有 x < 0，y1 < y2，不过这不在我们考虑范围之内。

追问

请问有没有其他办法啊,我是高中文科生没见过这种方法,

追答

我得想一想。
在我回答你的追问里有错。当x=0, y1, y2 都是1, 即y1, y2 都过(0, 1)
所有的(0, 0) 都应该是(0, 1)。