Question

ABC为正三角形，D、E分别在AB、BC上，CD与AE交于G，过C点作CF垂直于AF于F，CE=2AD，AG=FG，证AD=BE。

Answer 1

郭敦顒回答：∵AB=BC=AC，CE=2AD，
若AD=BE,则AD +2AD=BE+CE, ∴3AD=BC, AD=BE=BC/3=AB/3,
作AH⊥BC于H，则BH=GH，并设BH=CH=1，则AB=BC=AC=2，AH=1.732,
则△AEC≌△CDB, ∠AEC=∠CDB,
EH=0.333333,
∴tan∠AEC=AH/EH=1.732/0.333333=5.1962, ∴∠AEC=79.1066°,
∴AE=AH/sin79.1067°=1.732/0.982=1.7638
∵CF⊥AE于F,则∠ECF=90°－79.1067°=10.8934°,
∴∠ACF=60°－10.8934°=49.1066°,
∴AF=ACsin49.1066°=2×0.7559=1.5118,
CF=AC cos49.1066°=2×0.6547=1.3093.
∴GF=AF/2=1.5118/2=0.7559,
∴tan∠CGF=CF/GF=1.3093/0.7559=1.7321,
∴∠CGF=60°, ∠AGD=∠CGF,
∵∠BAE=∠AEC-∠B=68.9483°－60°=8.9483°,
又∵∠CDB是△ADG的外角,
∴∠CDB=∠BAE+∠AGD=8.9483°+60°=68.9483°
这与∠AEC=∠CDB=68.9483°相一致
∴AD=BE成立。证毕。

追问

开始假设AD=BE，则∠AEC=∠CDB，最后证得∠AEC=∠CDB，为什么AD=BE？

追答

继续回答：
第三行则BH=GH，应为则BH=CH，
倒数第四行以下有误，应为：
∵∠BAE=∠AEC-∠B=79.1066°－60°=19.1066°,
又∵∠CDB是△ADG的外角,
∴∠CDB=∠BAE+∠AGD=19.1066°+60°=79.1066°
这与∠AEC=∠CDB=79.1066°相一致
∴AD=BE成立。证毕。
(原计算为68.9483°,后修改为79.1066°,但后几行忽略了修改)
开始假设AD=BE，是未经证明的，则∠AEC=∠CDB，也是未严格证明的。最后证得∠AEC=∠CDB，这是被证明的了，再由此倒推回去就得到AD=BE的结果。总起来说是因整个推理过程中从条件到结果未产生矛盾，结论成立。
还有一个证法是用同一法，但同一法只是增加了一些新的符号，并无新意。

Answer 2

取AC中点，EC中点，即可~

追问

可以详细点么？

Answer 3

gjghj