Question

高代题：设A是n级方阵，α是n维列向量，若A^n-1α≠0，而A^nα=0，试证明α，Aα，…，A^n-1α 线性无关

Answer 1

设k0α+k1Aα+…+k(n-1)A^(n-1)α=0

同时左乘A^(n-1)
由于A^nα=0 所以A^(i)α=0(i>=n)
于是得到k0A^(n-1)α=0 又A^n-1α≠0 则k0=0
于是得到k1Aα+…+k(n-1)A^(n-1)α=0
同时左乘A^(n-2) 同理可以得到k1=0
以此类推 得到ki=0(i=0,1,2,3,...,n-1)
于是得到α，Aα，…，A^n-1α 线性无关

Answer 2

如果有常数K0，K1，。。。，Kn-1使得ΣKiA^(i)=O,（i=0，...,n-1）
A^(n-1)[ΣKiA^(i)]=K0A^n-1α=O
所以K0=0，
类似的可证K1=......=Kn-1=0
所以α，Aα，…，A^n-1α 线性无关