Question

已知函数f(x)=ax3次方+bx+4.a,b∈R,当x=2时,f(x)有极值-4/3

①求函数f(x)的解析式
②若方程f(x)=k有3个解，求实数k的取值范围——在线等，要详细过程

Answer 1

(1)∵函数f(x)=ax3次方+bx+4.a,b∈R,当x=2时,f(x)有极值-4/3
f'(x)=3ax^2+b=0==>x^2=-b/(3a)
f(2)=8a+2b+4=-4/3==>4a+b=-8/3==>b=-(12a+8)/3
∴x^2=(12a+8)/(9a)=4==>a=1/3==>b=-4
∴f(x)=1/3x^3-4x+4

(2)设g(x)=1/3x^3-4x+4-k=0
g'(x)=x^2-4=0==>x1=-2,x2=2
g''(x)=2x==>g"(x1)<0，g(x)在x1处取极大值g(x1)=28/3-k
g"(x2)>0，g(x)在x2处取极小值g(x2)=-4/3-k
∵方程f(x)=k有3个解
∴g(x1)=28/3-k>0==>k<28/3
g(x2)=-4/3-k<0==>k>-4/3
∴-4/3<k<28/3

Answer 2

解：依题意得 ：f(x)的导数=3ax^2+b，则：f(2)的导数=12a+b=0 （1）；
f(2)=8a+2b+4=-4/3 （2）
由（1）、（2）得：a=1/3,b=-4,则函数f(x)的解析式为:f(x)=(1/3)x^3-4x+4

2)f(x)=(1/3)x^3-4x+4=k,g(x)=(1/3)x^3-4x+4-k
则：g(x)的导数=(1/3)x^2-4=0，有：x=-2或x=2
所以：函数g(x)=(1/3)x^2-4在（-无穷大，-2）和（2，+无穷大）上是单调增函数，在（-2,2）上是单调减函数，而方程f(x)=k有3个解即是方程g(x)=(1/3)x^3-4x+4-k=0与x轴有3个交点，根据函数g(x)=(1/3)x^3-4x+4-k的图像得：g(-2)=(1/3)（-2）^3-48（-2）+4-k=（28/3）-k>0，且g(2)=(1/3)2^3-4*2+4-k=-（4/3）-k<0
所以：-（4/3）<k<28/3