Question

已知实数a,b,c,d满足a^2+b^2=1, c^2+d^2=1, 若直线ax+by=1与cx+dy=1仅有一个交点. 求证：|ac + bd| < 1

Answer 1

(ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1
所以|ac + bd| < =1
等号当前仅当a:c=b:d,但是线ax+by=1与cx+dy=1仅有一个交点意味着两直线不平行且不重合所以前面的比例等式不成立，所以|ac + bd| < 1

追问

(ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1

请问这一步怎么得出？

追答

柯西公式，你去网络上查查看
http://baike.baidu.com/view/7618.htm

Answer 2

设a=sinA b=cosA
c=sinB d=cosB
|ac+bd|=|sinAsinB+cosAcosB|=|cos(A-B)|
AB为两条直线的斜角
两条直线只有一个交点，就是这两条之间不平行，那么斜角不相等
那么A-B不等于0或180
那么|cos(A-B)|<1

Answer 3

解：采用三角函数法。
假设a=sinx,b=cosx,c=siny,d=cosy,满足a^2+b^2=1,c^2+d^2=1
则有|ac+bd|=|sinxsiny+cosxcosy|=|cos(x-y)|≤1且当x=y+kπ时|cos(x-y)|=1
若满足(1)直线ax+by=1与cx+dy=1仅有一个交点，即两直线不平行也不重合，那么a/b≠c/d
即tanx≠tany,即x≠y+kπ,得出|cos(x-y)|≠coskπ知|cos(x-y)|≠1即|=|cos(x-y)|<1因此满足条件（1）可以得出|ac+bd|<1
若满足（2）a≠c,b≠d即sinx≠siny,cosx≠cosy,知y≠x+2kπ即|cos(x-y)|≠cos2kπ知|cos(x-y)|≠1即|=|cos(x-y)|<1，因此满足条件（2）可以得出|ac+bd|<1

由以上可以看出条件（2）只是条件（1）的一个子集，因此得出结论：
a:题目和条件（1）是等价
b:条件（2）可以推出题目结论，但题目推不出条件（1）