Question

高二数学题 关于椭圆的 求高手解一下

在三角形ABC中， BC= 20 AC AB 边上中线长之和为39
求该三角形的重心轨迹方程

Answer 1

一、建立坐标系

以BC的中点为原点，以BC所在的直线为x轴。

二、因为AE、CF是AC、AB 边上的中线，故它们的交点G即是该三角形的重心

AE+CF=39

因为G是重心，故有BG=2/3BE，CG=2/3CF

故BG+CG=2/3（AE+CF）=26

即G点到两定点B、C的距离之和为26（定值），所以该三角形的重心轨迹为椭圆。

所以对于椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1

a=13,a^2=169

c=10,c^2=100

b^2=a^2-c^2=69

该三角形的重心轨迹方程为:

x^2/169+y^2/69=1

由于ABC是三角形,三角形的重心轨迹方程中,y≠0,对应的x≠±13

Answer 2

解：以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立坐标系
设三角形ABC的重心为G(x，y）
因为AC,AB的两条中线之和为39
所以由重心定理
得GB+GC=2/3*39=26＞24=BC
所以重心G(x，y）轨迹是个椭圆
其中2a=26，2c=BC=20
所以a=13，c=10
所以b=√（13²-10²）=根号69
所以x²/169+y²/69=1
又角形ABC的重心G(x，y）不能在BC所在直线上
所以x≠±13
所以三角形ABC的重心的轨迹方程为：x²/169+y²/69=1，（x≠±13）

Answer 3

既然点明关于椭圆的
那我只好顺着椭圆去想了
令B（-10,0），C（10,0）
还有一个三条中线交点就是重心的古老说法吧
好像还有个重心平分定理
就是中线AM上，点重心G把AM分成两段AG，GM
它们存在比例关系
就是AM/GM =2
于是 AC AB 边上中线长分别设为BM，CN
那么就会有GB+GC=2/3(BM+CM)=2/3×39=26
即动点G到两定点B和C距离恒为常数40/3于是G是
椭圆
并且焦点B(-10,0)C(10,0),2a= GB+GC=26
于是c=10,a=13
a²=169
,b²=a²-c²=169-100=69
于是该三角形的重心轨迹方程为
x²/169+y²/69=1
就会是一个椭圆啦
还要满足是一个三角形
就是x≠±13

Answer 4

点D、E分别是AB、AC边上的中点，它们的交点是M(x，y)。则：
DC＋BE=39
因为：MC=(2/3)DC、MB=(2/3)BE，则：
MC＋MB=(2/3)(DC＋BE)=26=常数
则点M的轨迹是以B、C为焦点、以2a=26为长轴的椭圆，得：
a=13、c=10
椭圆方程是：x²/169＋y²/69=1

Answer 5

设三角形ABC重心为P,AC,AB边长中线为BE,CF

由题意 BE+CF=39

P是重心, 有BP=(2/3)BE,CP=(2/3)CF

所以 BP+CP=(2/3)(BE+CF)=(2/3)*39=26>BC=24

P的轨迹为以BC为焦点的长轴长为26的椭圆(除去与直线BC的交点)

若B(-12,0),C(12,0),则轨迹为x^2/13^2+y^2/(13^2-12^2)=1,即x^2/169+y^2/25=1(y不等于0)