Question

已知函数f(x)=(1－sin2x)/【1－cos^2〔（π/2）－x〕】

已知函数f(x)=(1－sin2x)/【1－cos^2〔（π/2）－x〕】
(1)若tanα=－2 ，求f(α)的值
(2)求函数y=cotx f(x)的定义域和值域

Answer 1

f(x)=(1－sin2x)/【1－cos²（π/2－x）】的分母部分根据2倍角定理（cos2x=2cos²x-1）可以化简为：1-(cos(π-2x)+1)/2，

再根据两角和公式（cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ ）可以化简为：

1-(1-cos2x)/2=(1+cos2x)/2=cos²x，

整个公式右半边现在就是：(1-sin2x)/cos²x，再通过2倍角定理（sin2A=2sinA·cosA ），可变为：

(sin²x+cos²x-2sinx·cosx )/cos²x=tan²x+1-2tanx=(tanx-1)²

1、当x=a，且，tana=-2时：(tanx-1)²=9

2、y=cotx的定义域：(kπ，(k+1)π)，值域：负无穷到正无穷，图像：

Answer 2

因为tanx=-2 ，所以sinx=-2*cosx 所以sin2x=2sinxcosx=-4cosx^2
cos(π/2-x)=sinx
所以f(x)=（1+4cosx^2)/(1-sinx^2)=（1+4cosx^2)/cosx^2=1/cosx^2+4=tan^2x+1+4=4+5=9

(2)y=cosx/sinx*(1-sin2x)/cos^2x=(1-sin2x)/(sinxcosx)=2(1-sin2x)/sin2x
ysin2x=2-2sin2x
sin2x=2/(y+2)
故有|2/(y+2)|<=1
|y+2|>=2
y>=0或y<=-4
即值域是（-无穷，-4]和[0，+无穷）
定义域是1-cos^2(Pai/2-x)不=0且x不=kPai
即x不=kPai+Pai/2不=kPai.

Answer 3

f(x)=(1－sin2x)/[1－cos²(π/2－x)]
=(sin²x-2sinxcosx+cos²x)/[1-sin²x]
=(sinx-cosx)²/cos²x
=(sinx/cosx-1)²
=(tanx-1)²
(1)
∵tanα=-2
∴f(α)=(tanα-1)²=(-2-1)²=9
(2)
y=cotx(tanx-1)²
函数有意义,则
x=kπ,且x≠kπ+π/2,k∈Z
∴函数定义域为
{x|x≠kπ/2,k∈Z}
y=cotx(tanx-1)²
=coatx(tan²x-2tanx+1)
=tanx-2+1/tanx
当
tanx>0时,tanx+1/tanx≥2√(tanx*1/tanx)=2
∴
当tanx=1时,y取得最小值0
当
tanx

Answer 4

5