Question

已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,│φ│<π/2) (1)当x∈[2,6]时,f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=-2

且f(x)在［2，6］上单调递减，求ω和φ的值，并写出此时函数的单调增区间
（2）若φ=π/6，在[0,π/3]上f(x)单调递增，求取值范围

Answer 1

由题意得到T/2=6-2,T=8,那么有w=2Pai/T=Pai/4

f(2)=2sin(Pai/4*2+@)=2
sin(Pai/2+@)=1
|@|<Pai/键镇2,故有@=0
即有f(x)=2sin(Pai/4 x)
单调增春亮租区间是扒兆2kPai-Pai/2<=Pai/4x<=2kPai+Pai/2
即有[8k-2,8k+2]
(2)@=Pai/6,f(x)=2sin(wx+Pai/6)
在[0,Pai/3]上单调增，即有:Pai/6<=wx+Pai/6<=Pai/3w+Pai/6
而sinx函数的单调增区间是[-Pai/2,Pai/2]
故有Pai/3w+Pai/6<=Pai/2
即有w<=1.

Answer 2

f(x)在［2，6］上单调递减
则f(x)max=f(2) f(x)min=f(6)
即:2sin((ω2+φ)=2 2sin(ω6+φ)=-2
sin(2ω+φ)=1 sin(6ω+φ)=-1
首先，最小正周期T＞＝2＊（6－2）＝8
所以:2pai/ω>=8 ω<=pai/4
2ω<=pai/2 0<2ω+φ<pai (因为,│纤薯φ│<π/2)
所以2ω+φ=pai/2 ...................1
而6ω+φ=4ω+2ω+φ=pai/2+4ωEE[pai/2, 3pai/2]
所以6ω+φ=3pai/2................2
1，2式相减：得：4ω=pai ω=pai/4
φ=0
f(x)=2sin(paix/4)
当paix/4E[2kpai-pai/2,2kpai+pai/2]为增，即：xE[8k-2,8k+2]为增kEz

(2),f(x)=2sin(ωx+pai/6)
在[0,pai/3]时递增．2pai/ω>=2*pai/3
ω<=3 ωxE[0,pai]
ωx在[0,paiω/3]时递增

则：ωx+pai/6E[2kpai-pai/2,2kpai+pai/2]时递增
ωxE[2kpai-2pai/毁滚者3,2kpai+pai/3]
k=0,1时，
ωx的递增区间为：备哪[-2pai/3,pai/3] [4pai/3,7pai/3]
由于ωxE[0,pai]
所以：ωx只能在[-2pai/3,pai/3]区间内
所以：pai/3*ω<=pai/3
0<ω<=1