设f(x)在［0，1］上可导，且满足f(1)=2∫（下限0，上限1/2)xf(x)dx 50
设f(x)在［0，1］上可导，且满足f(1)=2∫（下限0，上限1/2)xf(x)dx，证明：存在c∈(0,1),使得f'(c)=-f(c)/c....
设f(x)在［0，1］上可导，且满足f(1)=2∫（下限0，上限1/2)xf(x)dx，证明：存在c∈(0,1),使得f'(c)=-f(c)/c.
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设 g(x)=xf(x)
f(1)=2∫（下限0，上限1/2)xf(x)dx=2∫（下限0，上限1/2)g(x)dx
由积分中值定理，存在 0<x0<1/2,使得 f(1)=2 * g(x0)*(1/2-0)=g(x0)
于是 g(1)=1*f(1)=g(x0)
因为g 在 ［0，1］上可导，所以 存在 c， 使得 x0<c<1, g'(c)=0
即： f(c)+cf'(c)=0
==> f'(c)=-f(c)/c.
f(1)=2∫（下限0，上限1/2)xf(x)dx=2∫（下限0，上限1/2)g(x)dx
由积分中值定理，存在 0<x0<1/2,使得 f(1)=2 * g(x0)*(1/2-0)=g(x0)
于是 g(1)=1*f(1)=g(x0)
因为g 在 ［0，1］上可导，所以 存在 c， 使得 x0<c<1, g'(c)=0
即： f(c)+cf'(c)=0
==> f'(c)=-f(c)/c.
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