Question

在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若bcosA-acos

在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若bcosA-acosB=1/2c.(1)求证:tanB=3tanA.(2)若cosC=(根号5)/5，求角A的值

Answer 1

(1)
根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC,所以原式可以写成sinBcosA-sinAcosB=1/2*sinC
sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
所以sinBcosA-sinAcosB=1/2*(sinAcosB+cosAsinB) => sinBcosA=3sinAcosB => tanB=3tanA

(2)
设tanA=x, 则tanB=3x,
cosC=cos(180-A-B)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=cosAcosB(tanAtanB-1)=根号5 /5,
sinC=(1-cosC^2)^(1/2)=2/根号5, sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=cosAcosB(tanA+tanB)=2/根号5

用上式除以下式，可以得到：
（3x^2-1)/4x=1 /2, 解这个二次方程可得 x=1,或 x=-1/3, 如果x是负数，tanB=3*x=-1,A,B均为钝角，不可能，
所以x=1.

tanA=1 => A=45